Denklemi $\bmod 8$'de inceleyelim: $3^x + 11^y \equiv 2,4,6 \pmod {8}$
$\bmod 8$'de karekalanlar $0,1,4$ olabilir. O zaman $3^x + 11^y \equiv 4 \pmod {8}$ olmalı. Buradan $x$ çift, $y$ tek veya $x$ tek, $y$ çift olur.
i.
$x=2k$ olsun.
$(z-3^k)(z+3^k)=11^y$
$z-3^k=11^m$
$z+3^k=11^{m+n}$
$11^{m+n}-11^m=2.3^k$ (Sol taraf her zaman $10$'a bölünür; fakat sağ taraf hiçbir zaman bölünmez. Çözüm gelmez.)
ii.
$y=2m$ olsun. $3^x=(z-11^m)(z+11^m)$
$z-11^m=3^b$
$z+11^m=3^{b+c}$
$3^b(3^c-1)=2.11^m$ (Sağ taraf $3$'e bölünmez. $b=0$ olmalı. Aynı zamanda, soruda $x,y,z$ pozitif verildiğinden ve $y=2m$ olduğundan, $m$ pozitiftir. Sağ taraf $11$'e bölünür.)
$3^c\equiv 1\pmod {11} \Rightarrow c=5t$ olmalı.
$(3^t-1)(3^{4t}+3^{3t}+3^{2t}+3^{t}+1)=2.11^m$
$3^t-1=2.11^d$ ve $3^{4t}+3^{3t}+3^{2t}+3^{t}+1=11^p $
$d=0$ ise $t=1$, $c=5$, $x=5$, $m=2$, $y=2m=4$, $z=11^2+1=122$
$d\ge 1$ ise $3^t\equiv 1\pmod {11}$
$3^{4t}+3^{3t}+3^{2t}+3^{t}+1\equiv 5\pmod {11}$ çözüm gelmez.
Tek pozitif tam sayı çözüm üçlüsü $(5,4,122)$.
