Kenarortayın çemberi kestiği nokta {çözüldü}

[geo]

|AB|=3, |BC|=4 olan ABC üçgeninde
[BC] kenarının orta noktası M,
AM nin çevrel çemberi kestiği nokta K,
M den AB ye inilen dikmenin ayağı L,
Alan(KAL)=Alan(CAM) ise |AC| nin alabileceği değerleri belirleyiniz.

[muuurat]

sadece 3 olur diye düşünüyorum. Acele etmişte olabilirim.Soru kökü eksik düşündüğümü hissettiriyor.

[geo]

sadece 3 olur diye düşünüyorum. Acele etmişte olabilirim.Soru kökü eksik düşündüğümü hissettiriyor.

Hissiniz doğru.

[geo]

Çözüm 1:
[BAM]=[CAM]=[KAL] ve BAM ile KAL üçgenlerinde [MAL] ortak olduğu için [BLM]=[KLM] dir.
Yani LM || BK dır. Bu durumda m(ABK)=90⁰ olduğu için AK çevrel çemberin çapıdır.
BM=MC olduğu için
ya AB=AC=3 tür
ya da m(BAC)=90⁰, yani AC²+3² = 4² => AC = √7 dir.


Çözüm 2:
AM=x ve m(BAM)=a olsun.
AL=x.cos a ve MK=4/x olacaktır.
[BAM]=[CAM]=[KAL] olduğu için
[BAM]=3.x.(sin a)/2
[KAL]=x(cos a)(x+4/x)(sin a)/2
cos a = 3x/(x² + 4) elde edilir.
BAM üçgeninde Kosinüs teoreminden
9+x² - 2.3.x.3x/(x² + 4)=4
5+x² - 18x²/(x²+4) = 0
x⁴ - 9x² + 20 = 0
(x² - 5)(x²-4)= 0.
Kenarortay teoreminden
AC² + 9 = 2(x² + 4)
AC² = 2x² - 1.
Bu durumda AC = √7 ya da AC=3 olacaktır.