BIC nin çevrel çemberine I da teğet {çözüldü}

[geo]

ABC üçgeninin iç merkezi I;
BIC çevrel çemberine I da teğet olan doğrunun AB ve AC yi kestiği noktalar M ve N olmak üzere;
MN=BI=6 ve IC=4 ise AC/BC=?

NOT: Hanoi Open Mathematical Olympiad 2010 sorularınından birinin hafif değiştirilmiş halidir.

[ERhan ERdoğan]

BIC nin çevrel çemberi [BC] ye ait dış merkezden geçer dolayısıyla merkezi AI üzerinde bulunacağından AI⊥MN dir.
AI aynı zamanda açıortay olduğundan AMN üçgeninde MI=IN=3 olacaktır.
m(MAI)=m(NAI)=x olsun. m(BMI)=m(CNI)=m(BIC)=90+x olur. Buna göre, ΔIBC , ΔMBI ve ΔNIC benzer üçgenlerdir.
Bu üçgenlerdeki benzerliği kullanarak BC=8 ve NC=2 bulunabilir.
IBC üçgeninde cosinüs teoremi uygularsak 8²=6²+4²-2.4.6.cos(90+x)
ve buradan sinx=1/4 bulunur. Bu değerin yardımıyla AIN üçgeninde sinx=IN/AN olduğundan AN=12 bulunur.
O halde sonuç olarak AC/BC=14/8=7/4 tür.