çember {çözüldü}

[RAMAZAN]

çemberde uzunluk

[ERhan ERdoğan]

ALBK harmonik dörtgen olduğundan, dörtgende karşılıklı kenarlar çarpımı eşittir.
Buna göre |AK|.|BL| = |AL|.|BK| ......(1)
Aynı zamanda ALBK kirişler dörtgeni olduğundan ptolemy teoremi gereği, |AK|.|BL|+|AL|.|BK| = |AB|.|KL|  ......(2)
(1) ve (2) denklemlerinden, |AB| = 2.|BK|  bulunur.
Çemberde aynı yayı gören çevre açıların eşitliğinden ∠BAK=∠KBN olup BNK üçgeni ile ANB üçgeni arasında benzerlik mevcuttur.
Bu benzerliğin oranı |BK|/|AB| = 1/2 dir.
O halde |KN|/|BN| = |BN|/|AN| =1/2 olacağından |AK|/|KN| = 3 olur.