XV. UMO(2007) maximum yükseklikler çarpımı {çözüldü}

[ERhan ERdoğan]

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 3$ ve $C$'ye ait yüksekliğin uzunluğu $2$ ise, diğer iki yüksekliğin uzunluklarının çarpımı en fazla kaç olabilir?

$A) \dfrac{144}{25}$      $B) 5$    $C) 3\sqrt{2}$      $D) 6$       $E) \text{Hiçbiri}$

[geo]

İlk Adım:
3.2 =ab.sin(C)  = a.h_a = b.h_b ⇒ 6ab.sin(C) = a.b.h_a.h_b ⇒ 6sin(C) = h_a.h_b
O zaman max{h_a.h_b} = 6. max{sin(C)}
O zaman max{sin(C)} ⇔ C = 90° diyemiyoruz.
Çünkü hipotenüsü 3 olan bir dik üçgenin hipotenüse ait yüksekliği en fazla hipotenüse ait kenarortay kadar yani 3/2 olabilir.
Bu durumda C noktasının AB'ye uzaklığı 3/2'den fazla olduğu için ∠ACB < 90° dir.
Bu durumda max{sin(C)} için C'nın maksimum olması gerekir.

İkinci Adım:
C'den AB'ye paralel ℓ doğrusunu çiziyoruz. AB'nin orta dikmesini çiziyoruz. ℓ ile X noktasında kesişsinler. Açık bir şekilde △XAB soruda belirtilen üçgenlerden biri, ama AB'yi en büyük açıyla göreni mi?
ℓ doğrusu C noktalarının geometrik yeridir. Açık bir şekilde, XAB çemberi ℓ doğrusuna teğettir. X hariç tüm C noktaları çemberin dışında yer alır. Bu noktalar AB'yi ∠AXB açısından daha küçük açıyla görürler. (CA ya da CB'nin çemberle kesiştiği nokta Y olsun.  ∠ACB<∠AYB =∠AXB). Bu durumda aradığımız C noktası, X'tir.

Üçüncü Adım:
Tabanı 3, tabana ait yüksekliği 2 olan ikizkenar üçgenin tepe açısının sinüsü bulma.
sin(C) = 2sin(C/2).cos(C/2) = 2.(3/5)(4/5) = 24/25

Dördüncü Adım:
h_a.h_b = 6sin(C) = 144/25.

[Lokman Gökçe]

Problemin farklı bir analizini verelim:

Çözüm 2:

[geo]

Aynı sorunun farklı cümlelerle anlatımı:
ABC ikizkenar üçgeninin AB tabanını çap kabul eden çember, BC yi D de kesiyor. Çember üzerinde D den farklı bir P noktası alınıyor. C den geçen ve AB ye paralel olan doğru ile BP doğrusu Q da kesişiyor. QA, çemberi R de kesiyor. AP.BR < AD² olduğunu gösteriniz.

[geo]

İlginç gelebilir,
bu sorudan http://geomania.org/forum/oss-geometri/aci-kenar-2807/msg10538/#msg10538 sorusunu türettim.