Yamukta eş açılar-eşit uzunluklar {çözüldü}

[ERhan ERdoğan]

AB//CD olan ABCD yamuğunun köşegenleri O noktasında kesişmektedir. [AD] ve [BC] kenarları üzerinden
sırasıyla P ve Q noktaları alınıyor. ∠APB = ∠DPC  ve  ∠BQA = ∠CQD  ise 
|OP| = |OQ|   olduğunu gösteriniz.
 

[geo]

AB=a, CD=c olsun.
O'dan geçen ve paralel kenarlara paralel olan doğru AD'yi K'da, BC'yi L'de kessin.
BL/LC=AK/KD=a/c ve OK=OL dir.
△CPD ile △ABP üçgenlerinde Sinüs teoremini uygularsak,
DC/CP = AB/BP ⇒ BP/CP= a/c = BL/LC elde edilir. Yani △BPC üçgeninde PL açıortaydır. ∠APB=∠DPC ve ∠BPL=∠CPL olduğu için LP⊥ AD elde edilir. Benzer şekilde KQ⊥ BC dir.
△KPL dik üçgeninde OP=OK=OL, △KQL dik üçgeninde OQ=OK=OL dir.
Bu durumda OQ=OP eşitliği elde edilir.

Not: Soruda belirtilen özellikleri taşıyan P ve Q noktaları bulunmayabilir.
"L'den AD'ye inilen dikme P, K'dan BC'ye inilen dikme Q ise OP=OQ" bağıntısı ise her zaman sağlanır. Bu durumda sorunun daha genel hali,
sin∠APB = sin∠DPC  ve  sin∠BQA = sin∠CQD  ⇒  OP=OQ olur.

[ERhan ERdoğan]

çözüm/2:
|AB| = a  ve  |DC| = b olsun.
|BE| = |BA|   olacak şekilde çizelim. AB//DC ve |BE| = |BA|  olmasından dolayı ∠PDC = ∠PEB olur.
O halde , ΔPBE ∼ ΔPCD dir. Bu benzerliğe göre ; |DP|/|PE| = |DC|/|BE| = b/a
ABODC kelebek dörtgeninde ki benzerliğe göre ; |DO|/|OB| = b/a
Buna göre , |DP|/|PE| =|DO|/|OB|  olup bu OP//BE demektir ve |OP|/a = b/(a+b)  ⇒ |OP| = a.b/(a+b)
Benzer işlemler |OQ| içinde yapılarak  |OQ| = a.b/(a+b)  bulunur.