1988 irlanda sorusu...

[tanerkalyoncu]

X={1,2,3,4,5,6,7} Kümesi veriliyor. Xi , i=1,2,...,7 kümeleri X kümesinin 3 elelmanlı farklı alt kümeleri ve Xi kümelerinin birleşimi X olmak üzere kaç tane (X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7) Alt küme 7 lisi vardır?

[Lokman Gökçe]

bu soruya bayıldım sizin elinizde benim yazacağımdan farklı bir gösterim kullanılmış olabilir. Sonuçlarımızı karşılaştırarak birbirine eşitleyebiliriz. ben çözümümü vereyim:

7![C(35,7) - C(7,1)(C(20,7) - C(6,1)C(10,7)) - C(7,2)C(10,7)]

sayısıdır. Önce X_i ler arasındaki sıralamayı önemsiz kabul ederek bir hesaplama yapıyorum. Sonra sıralı 7 lilerin kendi arasında yer değiştirmesinden dolayı 7! ile çarpıyorum. Baştaki 7! çarpanı buradan kaynaklanıyor.

Şimdi C(35,7) - C(7,1)(C(20,7) - C(6,1)C(10,7)) - C(7,2)C(10,7) ifadesini nasıl oluşturduğumuzu açıklayalım.

7 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı C(7,3) = 35 dir. Bu 35 tane üçlüden 7 tanesini X_i ler olarak seçeceğiz. Elbette hangi üç elemanlı alt kümeyi hangi X_i ye karşılık getirdiğimiz şu anda belirsiz. Sıralama yok, sadece seçme yapıyoruz. C(35,7) kadar seçim yapabiliriz. Bunlar tüm durumlardır.

Bu C(35,7) içinde bazı gruplar vardır ki bunlarin birleşimi sadece 5 eleman ya da sadece 6 elemanlı olabilir. Biz ise X_i lerin birleşiminin 7 elemanlı olmasını istiyoruz. O halde birleşimi sadece 5 eleman ya da sadece 6 elemanlı olan X_i gruplarını tüm durumlardan çıkarmalıyız. (İçerme - dışarma prensibi) Birleşimi 4 ya da daha az elemanlı olan üç elemanlı 7 alt küme seçmenin mümkün olmadığı açıktır. İstenmeyen durumlarımız, birleşimi sadece 5 ve 6 elemanlı olan altkümelerden ibarettir.

X_i lerin birleşimi tam olarak 6 elemanlı olsun. Birleşimde bulunmayan elemanı C(7,1) yolla seçebiliriz. Diğer 6 elemanla 3 elemanlı C(6,3) = 20 tane alt küme oluşur. Bu 20 taneden 7 tanesini C(20,7) yolla seçeriz. Fakat bu seçtiklerimiz arasında birleşimi 5 elemanlı olanlar bulunabilir. O halde birleşimde bulunmayan bu elemanı C(6,1) yolla seçeriz. Kalan 5 elemanla 3 elemanlı alt kümeler oluşturalım. C(5,3) = 10 tanedir. Bu 10 kümeden 7 tanesini seçelim. C(10,7) olur. Yani birleşimi tam olarak 6 elemanlı olan X_i lerin sayısı C(7,1)(C(20,7) - C(6,1)C(10,7)) dir.

Şimdi de birleşimi tam olarak 5 elemanlı olan X_i lerin sayısını bulalım. Birleşimde olmayan iki elemanı C(7,2) yolla seçeriz. kalan 5 elemanla 3 elemanlı alt kümeler yapalım. C(5,3) = 10 tanedir. Bu 10 alt kümeden 7 tanesinin seçimi C(10,7) yolla yapılır. O halde birleşimi tam olarak 5 eleman içeren X_i ler C(7,2).C(10,7) tanedir.

O halde birleşimi tam 7 elemanlı olan üç elemanlı alt kümelerin sayısı C(35,7) - C(7,1)(C(20,7) - C(6,1)C(10,7)) - C(7,2)C(10,7) dir. X_i sıralı 7 lilerinin yer değiştirmesinde dolayı bu sonucu 7! ile çarparız:

7![C(35,7) - C(7,1)(C(20,7) - C(6,1)C(10,7)) - C(7,2)C(10,7)]

[tanerkalyoncu]

peki bu sorunun metnini değiştirelim ve şöyle bir soru üretelim.
SORU(TANER)
X={1,2,3,4,5,6,7} Kümesi veriliyor. Xi , i=1,2,...,7 kümeleri X kümesinin 3 elemanlı farklı alt kümeleri ve Xi kümelerinin birleşimi X olsun.Ancak xi leri oluştururken şöyle bir kural belirleyelim.X kümesinden alınan her ikili xi lerde sadece 1 kez görünsün.Bu kurala örnek bir parçalanış aşağıda;

{1,2,4}{2,3,5},{3,4,6},{4,5,7}{5,6,1}{6,7,2}{7,1,3}

bu şekilde kaç tane parçalanış vardır?
Şu kesin biliniyor 7 elemanlı bir kümenin kesinlikle bu kural ile 7 alt kümesi vardır.