$f(x)=f(1/x)$, $f(x)=f(x+1)$ ise $f$ sabit fonksiyon mu?

[Beyşehirli]

f, pozitif rasyonel sayılardan tam sayılara tanımlı bir fonksiyon olmak üzere f(x) = f(1/x) ve f(x) = f(x+1) ise f bir sabit fonksiyon mudur?

[Ferhat GÖLBOL]

  Fonksiyonu f(0)=f(1) olacak şekilde negatif olmayan rasyonel sayılardan tam sayılara tanımlı olacak şekilde genişletelim. f(x)=f(x+1) koşulu negatif olmayan rasyonel sayılarda, f(x)=f(1/x) koşulu pozitif rasyonel sayılarda geçerlidir. a ile b, pozitif tamsayılar ve a>b olsun ( f(x)=f(1/x) koşuluna göre gerekirse a ile b'nin değerlerini birbirleriyle değiştirelim). a=a₁(mod b) olsun(a₁<b). Bu durumda f(a/b)=f(a₁/b)=f(b/a₁)'dir (a₁ 0'dan farklı ise). b=b₁(mod a₁) olsun(b₁<a₁). Bu durumda f(b/a₁)=f(b₁/a₁)=f(a₁/b₁) olur (b₁ 0'dan farklı ise). İşlem sürekli devam ettirilirse, a>a₁>a₂... ve b>b₁>b₂... pozitif tam sayılarından biri 0 olacaktır (Fermat'ın sonsuz iniş metodu). Dolayısıyla her a,b pozitif tamsayı çifti için f(a/b)=f(0)=f(1) olacağından f, sabit fonksiyondur.