Öncelikle genelliği bozmadan ilk kesilen parçanın kısa parça olduğunu
varsayalım:
Bu parçanın uzunluğuna x dersek: 0<x<1/2 dir.
Örneğin x=0,3 olsun. Uzun parça 0,7 olacaktır.
Şimdi uzun parçayı a ve 0,7 - a olarak ikiye bölelim.
Temel üçgen eşitsizlikleri gereği;
0,7-a-a<0,3 olacağından 0,2<a olmalıdır.
Ayrıca a < 0,3+0,7-a olacağından a<0,5 dir.
Demek ki 0,2<a<0,5 olmalıdır.
Bu durumda istenilen olay için a nın seçim aralığının uzunluğu 0,3 br
ve a nın seçilebileceği toplam uzunluk aralığı ise 0,7 br olduğundan
istenilen olasılık 0,3/0,7 olur. (Dikkat edin bu durum x / 1 - x
demektir.)
Benzer biçimde x = 0,2 olsaydı, 0,3 < a < 0,5 olacaktı.
Böylece istenilen olasılık 0,2 / 0,8 olurdu. ( Tekrar dikkat edin bu
durum x / 1 - x demektir.)
Özetle istenilen olasığımız x e bağlıdır ve x / 1 - x dir.
Bu nedenle, 0<x<1/2 reel aralığı için x / 1 - x oranlarının toplamı
x / 1 - x in 0 dan 1/2 ye integraline eşittir.
Hesaplanırsa -1/2 - ln(1/2) = -1/2 + ln2 bulunur.
Varsayımımızda x in kısa parça olduğunu belirtmiştik.
Eğer x uzun parça olsaydı, aynı olasılık çıkardı.
Bu durumda istenilen olasılık 2( -1/2 + ln2) = -1 + 2ln2 dir.
