öncelikle soruyu çok beğendiğimi söyleyeyim. Çözümde şöyle bir yol izleyeceğiz: değişkenler arasında eşitsizlik olduğundan tüm değişkenleri en küçük değişken türünden ifade edeceğiz.
SORU: a,b,c,d birer tamsayı ve 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ 2011 olacak şekilde kaç farklı (a, b, c, d) dörtlüsü bulunur.
ÇÖZÜM: x, y, z ≥ 0 tamsayılar olmak üzere
d = a + x + y + z
c = a + x + y
b = a + x
şeklinde yazabiliriz. d ≤ 2011 olduğundan a + x + y + z ≤ 2011 olarak yazabiliriz. Bu eşitsizliğin her çözüm dörtlüsü ile bizden bulmamız istenen 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ 2011 eşitsizliğinin çözüm dörtlüsü arasında birebir örten bir eşleme vardır. Yani bu eşitsizliklerin çözüm sayıları eşittir. a + x + y + z ≤ 2011 eşitsizliğini negatif olmayan tamsayılarda çözmek yerine t ≥ 0 biçiminde bir tamsayı olmak üzere a + x + y + z + t = 2011 denklemini negatif olmayan tamsayılar kümesinde çözebiliriz. Bunun çözüm sayısı da C(2015, 4) = 684,849,315,865 olur.
