ikizkenar-çevrel çember

[idensu]

...

[Lokman Gökçe]

yaklaşık 10 yıl önce yamanların olimpiyat çalışma soruları arasında görmüştüm bu problemi. Şöyle bir yol izleniyordu:

A noktasından BC doğrusuna indirilen dikmenin ayağı H olmak üzere simson doğrusu özelliği gereği E, F, H doğrusaldır. Sonra bir menelaüs teoremi uygulanarak iki bilinmeyenli bir eşitlik yazılıyor. Sonra da BCD üçgeni ve dışındaki A noktası için Carnot teoremi uygulanıp iki bilinmeyenli bir eşitlik daha yazıyoruz. bu denklemlerin ortak çözümünden x elde ediliyor.

(beni çok uğraştırmıştı, analitik düzleme yerleştirip çözmeyi denemiştim. çevrel çemberin denklemi ve doğru denklemleri çok berbat geliyordu, sonra bıraktım ... bu yolu denemenizi tavsiye etmem)

[geo]

C'nin açıortayının çevrel çember ile kesişim noktasından CD dikme indirilince dikmenin ayağının D'ye uzaklığı 3 çıkıyor. Demek ki CA açıortay. A, BD yayının orta noktası dolayısıyla da BE = ED = 12/2 = 6.

[geo]

CB'nin orta noktası H ve O çevrel çemberin merkezi olsun.
OCH üçgeninde OC=R, CH=3 ve COH = CDB olur.

O'dan DC'ye inilen dikmenin ayağı M olsun. MF = 3 olacaktır. O'dan AF'ye indile dikmenin ayağı N olsun. ON = MF = 3 olur.  AON üçgeninde OA = R ve ON=3 olduğu için, AON ~ OCH dolayısıyla da OAN = COH = CDB elde edilir. FTD = 90 - CDB = ATB ve OAN = CDB  olduğu için AR, BD'ye diktir ve BD'yi ortalar. Dolayısıyla da bu nokta E noktasıdır. EB = 12/2 = 6 çıkar.