mod

[Seyit Çetin]

[senior]

P(1) + P(2) + ... + P(9) = 1 + 2 + ... + 9 = M olsun

İki basamaklılar için
P(10) = P(20) = ... P(90) = 0

P(11) + P(12) + ... + P(19) = 1x1 + 1x2 + ... 1x9 = M
P(21) + P(22) + ... + P(29) = 2x1 + 2x2 + ... 2x9 = 2xM
...
P(91) + P(92) + ... + P(99) = 9x1 + 9x2 + ... 9x9 = 9xM

P(11) + P(12) + ... + P(99) = (1+2+...+9)xM = M²

Üç basamaklılar için
P(a0x) = 0, O zaman P(111)'den başlayacağız.
P(111) + P(112) + ... + P(199) = 1xP(11) + 1xP(12) + ... 1xP(99) = M²
P(211) + P(212) + ... + P(299) = 2xP(11) + 2xP(12) + ... 2xP(99) = 2xM²
...
P(911) + P(912) + ... + P(999) = 9xP(11) + 9xP(12) + ... 9xP(99) = 9xM²

P(111) + P(112) + ... + P(999) = (1+2+...+9)xM² = M³

P(20xx) = 0 olduğundan, toplamı 1999'a kadar olarak düşünebiliriz.
P(1000) + P(1001) + ... + P(1999) = P(1111) + P(1112) + ... + P(1999) = 1xP(111) + 1xP(112) + ... + 1xP(999)
= M³

O zaman bütün toplam M + M² + 2M³'tür.
M = 45 --> M = 6 (mod 13)  --> M + M² + 2M³ = 6 + 36 + 2x216 = 6 + (-3) + 2x(-3)x6 = 6 (mod 13)