pell sorusu

[osman211]

(4p)²-q⁴=3x^2  bu denklemden q veya p veya x işte ordaki sayıları bulabilceğimiz bir dizi elde edilebilirmi ?

[Lokman Gökçe]

Pell denklemi şu oluyordu: d tamkare olmayan bir pozitif tamsyayı olmak üzere x² - dy² = 1 denklemi. Bir de negatif Pell denklemi var, o da: x² - dy² = - 1 denklemi. Bu denklemlerin pozitif tamsayılardaki çözümleri araştırılır. Bu denklemlerin illa bir çözümü olacakdiye birşey yok ama temel çözüm denen en küçük pozitif çözümler bulunduktan sonra tüm pozitif çözümleri veren bir dizi kurabiliyoruz. Bu sade denklemin çözümüyle ilgili çalışmalar bile uzun zamanlara yayılmış.

Şimdi (4p)² - q⁴ = 3x² denklemine bakalım. Bu Pell denkleminin tanımına uymuyor. x'e verilecek her değer için (4p - q²)(4p + q²) = 3x² şeklinde çarpanlara ayrılarak bir kısım çözümler bulunabilir.

Örneğin x = 1 için, 4p - q² = 1, 4p + q² = 3 denklemlerinden p = 1/2 elde edilir. çözüm yok. x = 2 için 4p - q² = 2, 4p + q² = 6 denklemlerinden p = 2, olur ama q tamsayı olmaz çözüm yok. x = 4 için p = q = 2 çözümü vardır. Belki biraz uğraşırsak denklemin sonsuz çözümü olduğu gibi bir iddiayı ispatlayabiliriz. (gerçekten sonsuz çoklukta çözümü var mı bilmiyorum) Bununla beraber senin bizden yapmamızı istediğin gibi tüm çözümleri verecek bağıntılara ulaşırız demek çok buyük bir iddia olur.

Kısacası her diyofant denklemini çözebilecek bir yöntem bulunabilmiş değildir. Bazı sorularda tüm çözümleri bulabiliriz. Bazısında denklemin zorluğundan dolayı denklemi sağlayan bir çözüm takımı bulmamız istenir ki bu bile başlı başına bir iştir. Bazen çözümün sonlu mu sonsuz mu olduğuna karar vermemizi ister. Bazı sonsuz çözümlü denklemlerde ise parametreler yardımıyla ifade edilmiş bir sonsuz çözümlü denklem ailesi bulmamız istenir. Ama bu da tüm çözümleri verecek birşey olmayabilir.

3-4 değişkenli (hatta 2 değişkenli) sorular için tüm çözümleri bulmak çok zor olabilir. Hatta bazen kimi sorulara cevap vermeye 5-10 insanın ömrü bile kafi gelmeyebilir. (Örnek: Fermat denklemi)

Kafadan uydurduğum zor bir denklem de şudur: c verilmiş bir pozitif tamsayı olmak üzere ax² - by² = c. Bunun tüm (x,y,a,b) pozitif tamsayı 4-lüsü çözümlerini bulunuz. En dahilerin bile takatinin üzerinde olan bu soruya cevap verecek insan evladı yoktur herhalde.

[Lokman Gökçe]

Soruyu şöyle sorarsak bişeyler yapabiliriz:

SORU: (4p)² - q⁴ = 3x² denklemini sağlayan sonsuz çoklukta (p, q, x) pozitif tamsayı üçlüsü olduğunu gösteriniz.

ÇÖZÜM: t > 0  bir tamsayı olmak üzere denklemde x = 4t koyalım. (4p - q²).(4p + q²) = 48t² olur. Burada 4p - q²=4t, 4p + q² = 12t eşleştirmesi yaparsak yok etme yöntemi ile p = 2t, q² = 4t olur. q bir tamsayı olduğundan bir m > 0 tamsayısı için t = m² şeklinde yazılabilmelidir. Böylece her m > 0 tamsayısı için

(p, q, x) = (2m², 2m, 4m²) üçlüleri denklemin bir çözümü olur. Yani denklemi sağlayan sonsuz çoklukta çözüm üçlüsü vardır.

Örneğin bunlardan bazıları:

m = 1 için (2, 2, 4); m = 2 için (8, 4, 16) şeklinde elde edilebilir.