Bas agrıtan iki soru {çözüldü}

[neverpass]

1)  a gerçel sayısı (0,1) aralığında ve f fonksiyonu [0,1] aralığında sürekli bir fonksiyon olmak üzere
f(0)=0
f(1)=1

f[ (x+y)/2]=(1-a).f(x)+a.f(y) ise f(1/7)=?     (cevap f cinsinden)
 
2) Bir üçgenin kenarları a,b,c ve çevrel çemberin yarıçap uzunluğu R olsun.Eğer R=a.kök(bc) / (b+c) ise üçgenin açılarını bulunuz

[senior]

1) durum simetrik olduğu için yani x yerine y, y yerine x yazabilidiğimiz için 1-a = a ve a = 0.5 olur.
yani f(x) + f(y) = 2 f((x+y)/2), y = 0 ise f(x)/2 = f(x/2) olur. Yani f(4/7)/4 = f(2/7)/2 = f(1/7)
x = 1/7, y = 1 ise f(1/7) + f(1) = 2 f(4/7) = 8f(1/7) --> f(1/7) = 1/7
Cevap nasıl f cinsinden merak ettim.

2) Sinüs teoremini uygularsak a/sinA = 2R = 2akök(bc)/(b+c);
kök(bc)sinA = (b+c)/2 olur. A.O > G.O yani (b+c)/2 > kök(bc) eşitsizliğini kullanırsak
kök(bc) < kök(bc)sinA durumu ancak A = 90 olduğunda olur. Ayrıca kök(bc)sinA = (b+c)/2 durumu da ancak ve ancak b=c durumunda olur. Yani açılar 90 - 45 - 45 derece.

[neverpass]

hocam cok ama cok tesekkür ederim

1.soru icin cevap f(1/8)/[1-f(1/4)+f(1/8)] diye yazılmıs ...   olimpiyatlara hazırlık kitabındanmıs soru  

[senior]

O zaman a=0.5 meselesinde kitap ile anlaşmazlığımız var ; [0,1] aralığındaki her x,y için
f[(x+y)/2]=(1-a).f(x)+a.f(y) eşitliği sağlanıyorsa a'nın 0.5 olmaktan başka seçeneği yok bence. Çünkü aşağıdaki eşitlik sağlanacak her x,y için:
(1-a)f(x) + af(y) = af(x) + (1-a)f(y);

Ama f(1/8)/[1-f(1/4)+f(1/8)] = 1/7 oluyor zaten; kitap a'yı bulamayacağınızı farzederek çözmüş soruyu; ama bulabiliriz.