Diyafont Denklemler $138$ çalışma sorusu içinde bu soruya bir çözüm yazmışım. (Önceki çözümde nedendir bilmiyorum türev kullanmışım değiştirdim.)
$38)$ $m^2=n^2+3^n$ eşitliğini sağlayan bir pozitif tam sayı olsun. $(m-n).(m+n)=3^n$ olduğu için $m-n=3^k$ ve $m+n=3^{n-k}$
olmasını sağlayan bir $k\ge 0 $ sayısı vardır. $m-n<m+n$ olduğundan dolayı $3^k<3^{n-k}$ $k<n-k$ $2k<n$ yani $n-2k\ge 1$ olur.
$n-2k=1$ ise $2n=(m+n)-(m-n)=3^{n-k}-3^k=3^k.(3^{n-2k}-1)=2.3^k$ olur. $3^k=2k+1$ elde edilir.
$f(k)=3^k-2k-1$ olsun.
$k>0$ için tam sayılarda $f(k+1)>f(k)$ olduğunu gösterelim. $$f(k+1)=3.3^k-2.(k+1)-1=(3^k-2k-1)+(2.3^k-2)>3^k-2k-1$$ bunu ispatlamalıyız. yani $3^k>1$ olduğunda sağlanır. bu da $k\geq 1$ için doğrudur. Bu fonksiyon tam sayılarda $k=1$ için $0$ dır. Dolayısıyla $k\geq 2$ için daima $f(k)>0$ olur. $k=0$ da denenmelidir. Sağlar.
$k=0$ için $n=1$ , $k=1$ için $n=3$ gelir.
$n=1$ için $n^2+3^n=4$
$n=3$ için $n^2+3^n=36$ olur.
Gelelim $n-2k>1$ durumuna $n-2k\ge2$ için $k\le n-k-2$ olur. $m-n<m+n$ eşitsizliği kullanılırsa $3^k\le 3^{n-k-2}$ olur.
$2n=3^{n-k}-3^k\ge 3^{n-k}-3^{n-k-2}=3^{n-k-2}.8$ elde edilir.
Daha önceden ispatladığımız $3^x >2x+1$ , $m\ge 2$ eşitsizliğini hatırlayalım. $m=0$ ile $m=1$ iken de eşit olduğunu hatırlayarak
$8.3^{n-k-2}\ge 8.(1+2.(n-k-2))=16n-16k-24$ bulunur. $2n\ge 16n-16k-24$ yani $8k+12\ge 7n$ elde edilir. $n\ge 2k+2$ olduğundan
dolayı $7n\ge 14k+14$ olur. fakat bu sefer $8k+12>14k+14$ yani $-6k>2$ yani $k<0$ gelir. bu da $k$ nın negatif olmayan olmasıyla
çelişir.
$k=0$ ise $m-n=1$ $m+n=3^n$ denklem $3^n=2n+1$ olur bunun çözümü $n>0$ için $n=1$ olacağını daha önce göstermiştik.
$k=1$ ise $m-n=3$ $m+n=3^{n-1}$ Benzer şekilde $n>3$ için $3^{n-1}-2n-3$ ifadesi için $g(n+1)>g(n)$ tipi kıyaslama yaparsak $$3^{n-1}-2n-3+(2.3^{n-1}-2)>3^{n-1}-2n-3$$
yani $n\geq 2$ için barizdir. $g(3)=0$ olduğundan $n>3$ çözümsüzdür. denemeyle tek çözümün $n=3$ olduğu görülebilir.
$n=1$ ise $n^2+3^n=4$
$n=3$ ise $n^2+3^n=36$ bulunur.
