Crux 3934 ve Petrovic Eşitsizliği (George Apos.)

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Petrovic Eşitsizliğinin kullanıldığı bir Crux Mathematicorum sorusu paylaşayım..

Crux 3934.
$a,b,c$  herhangi bir üçgenin kenar uzunluklarını belirtmek üzere aşağıdaki eşitsizliği gösteriniz
$$\dfrac{a}{\sqrt[3]{4b^3+4c^3}}+\dfrac{b}{\sqrt[3]{4c^3+4a^3}}+\dfrac{c}{\sqrt[3]{4a^3+4b^3}}<2$$

[AtakanCİCEK]

Bu çözüm petrovic kullanmıyor ama yine de eklemek istedim.

$$\sqrt[3]{4b^3+4c^3}\geq b+c$$  olduğunu ispatlayarak başlayalım.

$$(b-c)^2(b+c)\geq 0$$
$$4b^3+4c^3 -(b^3+c^3+3bc(b+c))  \geq 0$$
$$4b^3+4c^3 \geq  (b+c)^3$$olur ispat biter.
 
İstenen eşitsizliğin sol Tarafına $S$ dersek 

$$S\leq  \dfrac{a}{b+c} + \dfrac {b}{a+c} + \dfrac {c}{a+b}<2 $$ ispatlamak kaldı. Soruyu öncelikle üçgen olma şartından kurtarmak için $a=x+y$ ,$b=y+z$ , $c=x+z$  dönüşümlerini yaparsak 
$$\sum_{cyc}^{} \frac{y+z}{2x+y+z} = 3- 2\sum_{cyc}^{} \frac{x}{2x+y+z}  $$  Bu ifadeye de cauchy-schwarzu uygularsak

$$\sum_{cyc}^{} \frac{x^2}{x.(2x+y+z)} \geq \dfrac{(x+y+z)^2}{\sum_{cyc} x(2x+y+z)}=\frac{1}{2} + \dfrac {\sum_{cyc}^{} xy}{2(\sum_{cyc}^{} x^2+\sum_{cyc}^{} xy)}>1/2$$ olur çünkü sağda kalan terim pozitiftir üçgen şartından dolayı.

Bu da bize  $$ 3- 2\sum_{cyc}^{} \frac{x}{2x+y+z} < 3-2. \frac{1}{2}<2$$ verir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Çözüm için sağ olun. Ben ise Hölder ve Petroviç ile çözüme gideyim..

Hölder Eşitsizliğinden
$$\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}=\sqrt[3]{(1+1)(1+1)(b^3+c^3)}\geq b+c$$
dir. Buna göre
$$\sum_{cyc}{\dfrac{a}{\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}}}\leq \sum_{cyc}{\dfrac{a}{b+c}}\overbrace{<}^{Petrovic} 2$$
Petrovic Eşitsizliğini ise şöyle gösterelim. $a,b,c$  üçgen oluşturduğundan $a<b+c$ yani $a+b+c>2a$  dır. O zaman
$$\sum_{cyc}{\dfrac{a}{b+c}}<\sum_{cyc}{\dfrac{2a}{a+b+c}}=2$$