Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 22

[matematikolimpiyati]

Bir $a$ pozitif tam sayısı için, hem $a=m+n+ebob(m,n)+ekok(m,n)$ olacak şekilde $m$ ve $n$ pozitif tam sayıları, hem de $a=p^k$ olacak şekilde $p$ asal sayısı ve $k$ pozitif tam sayısı bulunuyorsa $a$ sayısına $\textit{güzel}$ diyelim. $2025$ ten küçük kaç güzel sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 9  \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ 13  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$\operatorname{ebob}(m,n)=d$ olsun. $m=du$ ve $n=dv$ olacak şekilde aralarında asal $u,v$ pozitif tamsayıları vardır. Bu durumda $\operatorname{ekok}(m,n)=duv$ olacaktır. Yerine yazarsak, $$a=du+dv+d+duv=d(u+1)(v+1)$$ elde edilir. $a=p^k$ formatında olduğundan, $p$ tekse, $d, u+1, v+1$ tek olacağından $u$ ve $v$ çift olacaktır. Bu da aralarında asallık ile çelişir. $p=2$ olmalıdır. Yani $t\geq 0$ ve $r,s\geq 1$ olmak üzere, $d=2^t$, $u=2^r-1$ ve $v=2^s-1$ formatlarında olmalıdır. Bu durumda $a=2^k=2^{t+r+s}$ olacağından $k=t+r+s\geq 2$'dir. $k\geq 2$ olan herhangi bir $k$ için de $d=1$, $u=1$ ve $v=2^{k-1}-1$ seçilebileceğinden aradığımız güzel sayılar $k\geq 2$ olmak üzere $2^k$ formatındaki sayılardır. Bunlar da $$4,8,16,32,64,128,256,512,1024$$ olmak üzere $9$ tanedir.

[borlu51]

Daha anlaşılası ortaokul düzeyi bir çözüm rica edebilir miyiz.

[Metin Can Aydemir]

Daha anlaşılası ortaokul düzeyi bir çözüm rica edebilir miyiz.

Resmi çözüm de yukarıdaki çözümle neredeyse aynıdır. Daha kolay bir çözüm olduğunu sanmıyorum.