Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 21

[Metin Can Aydemir]

$\widehat{B}$ açısı dik olan bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarına sırasıyla $D$ ve $E$ noktalarında teğettir. $ED$ ve $BC$ doğrularının kesişim noktası $F$ olmak üzere, $|FD| = 25$ ve $|DE| = 24$ ise, $|AE|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 16 \qquad \textbf{b)}\ 18 \qquad \textbf{c)}\ 20 \qquad \textbf{d)}\ 24 \qquad \textbf{e)}\ 35$

[diktendik]

Yanıt: $\boxed{C}$

Çemberin $BC$'ye değme noktası $T$ ise kuvvetten $FT=35$ olur. $DB=BT$ ve $FB=35-DB$ oldugundan pisagor sonucu $DB=15$ veya $DB=20$ olur. İkinci durumda dik üçgenin hipotenusu $|BC|$'ndan küçük gelir. Yani $DB=15$ olur. $A$'dan $DE$'ye dik çekip benzerlik yazarsak $AD=20$ gelir.

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

İç teğet çemberin merkezi $I$ olsun. $AI\perp DE$,
$ID=BD$ ve $\angle BFD = \angle IDE = \angle IAD$ olduğu için $\triangle BFD \cong \triangle IAD$. Dolayısıyla $AI=FD=25$ ve hipotenüse ait yükseklik $24/2=12$ dir.
$AD=AE=x$, $DI=y$ dersek $x^2+y^2=25^2$ ve $xy=12\cdot 25=300$ elde ederiz. Buradan $\angle IAD < 45^\circ$ yani $y<x$ şartını gözeterek $x=20$ ve $y=15$ elde edilir.

Aslında hipotenüsü ait yüksekliğin hipotenüsü $9$ ve $16$ şeklide böldüğü deneme yanılma ile hemen hesaplanabilir. Buradan $20$ ya da $15$ bulunur. $15$ şıklarda yok, olsaydı da yukarıdaki gibi bir bağıntıdan sağlamadığı görülebilirdi.

Bir diğer yöntem de, hipotenüse ait yükseklik ile hipotenüse ait kenarortayın oluşturduğu üçgeni kullanmak. Bu soruda söz konusu üçgen bir $7/2, 24/2, 25/2$ üçgenidir. Buradan hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçaların $\dfrac{25}2 \pm \dfrac 72$ olduğu rahatça bulunabilir.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezine $I$, yarıçapına $r$ diyelim. $\angle BAI = \angle CAI = \alpha$ olsun. Aşağıdaki şekli takip edelim.

$\angle IDH = \angle BFD = \alpha$ olur. $\sin \alpha = \dfrac{r}{25}$ ve $\cos \alpha = \dfrac{12}{r}$ dir. Çarpımlarının sabit olduğuna dikkat edersek $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos  \alpha$ özdeşliğini kullanabiliriz. $\sin 2\alpha = 2 \cdot \dfrac{12}{25} = \dfrac{24}{25}$ bulunur. Bir dik üçgen inşa ederek $\tan \alpha = \dfrac{3}{4}$ bulabiliriz. $\sin \alpha = \dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{|AE|}$ olup $|AE| = 20$ elde edilir.