Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 02

[Metin Can Aydemir]

$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3$ sayısının $2025$ ile bölünmesini sağlayan kaç tane $n < 2025$ pozitif tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 44  \qquad\textbf{b)}\ 89  \qquad\textbf{c)}\ 134  \qquad\textbf{d)}\ 179 \qquad\textbf{e)}\ 224$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$'dir. Dolayısıyla, $$2025\left\lvert \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\right.\iff 45\left\lvert \frac{n(n+1)}{2}\right.\iff 9\mid n(n+1)\quad\text{ve}\quad 5\mid n(n+1)$$ olacaktır. $$9\mid n(n+1)\iff n\equiv 0,8\pmod{9}$$ $$5\mid n(n+1)\iff n\equiv 0,4\pmod{5}$$ olacaktır. Çin kalan teoreminden $$2025\mid 1^3+2^3+\cdots+n^3\iff n\equiv 0,9,35,44\pmod{45}$$ olacaktır. $[45k,45k+44)$ aralığında $4$ tane bu kalanları veren sayı vardır. $k=0,1,2,\dots, 44$ için $[0,2025)$'i bu aralıklara bölebiliriz. Ancak $0$'ı çıkartmalıyız. Dolayısıyla, $$45\cdot 4-1=179$$ tane istenilen şartı sağlayan pozitif tamsayı vardır.