Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 16

[Metin Can Aydemir]

$15 \times 15$ satranç tahtasının bazı birim kareleri işaretlenmiştir. Bir satırdaki işaretlenmiş birim kare sayısı bir sütundaki işaretlenmiş birim kare sayısından fazla ise, bu satır ve sütunun kesişimindeki birim kareye mutlu diyelim. Tahtadaki mutlu birim kare sayısı tam olarak $112$ ise, işaretlenmiş birim kare sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 113 \qquad \textbf{b)}\ 187 \qquad \textbf{c)}\ 201 \qquad \textbf{d)}\ 217 \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Mathtaker]

$218$ tane isaretleme yapamayiz, cunku bunun icin en az 8 sutunda 15 kare isaretlememiz gerekir, $j_1,j_2,\cdots,j_8$. Yani $i_kj_{\leq8}$ olacak sekilde bir mutlu kare bulunmaz. $15\times 15-15\times 8$ yani en cok 105 mutlu kare olabilir, celiski. $217$ icin ornek: ilk 14 satirin tamami isaretlenip, son satirde 8 bos birakilirsa $14\times 8=112$ mutlu kare olur.