Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 01

[Metin Can Aydemir]

Bir $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ ve ağırlık merkezi $G$ olmak üzere, $|BH| = 3\sqrt{2}$, $|CH| = 6$ ve $m(\widehat{BHC}) = 135^\circ$ ise, $|GH|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 + \sqrt{2}  \qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt{3} - 2  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt{2} - 3  \qquad\textbf{e)}\ 2$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{E}$.

Problemin kısa bir çözümünün olduğuna inanmakla beraber, sınav anında yaptığım çözümü paylaşmak isterim.

Kosinüs teoremiyle $BC=3\sqrt{10}$  olur. Üçgenin bir yüksekliği $AD$  ve bir kenarortayı da $AM$  olsun. Çevrel merkez $O$  olsun. $H$  diklik merkezinin üçgenin kenarlarına göre yansıması çevrel çember üzerinde olduğundan $(ABC)$  çevrel çemberinin yarıçapı ile $(BHC)$ 'ninki aynıdır. Dolayısıyla $OC=R=\dfrac{3\sqrt{10}}{\sin 135^{\circ}}=3\sqrt{5}$  tir. Ayrıca $BH^2-BD^2=18-BD^2=36-CD^2$  olduğundan $BD=\dfrac{12}{\sqrt{10}}$  olur. Dolayısıyla $DM=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$  dur. Pisagor ile $HD=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$  olur. Buna göre $OH^2=\left(OM-HD\right)^2+MD^2=3$  bulunur. $H-G-O$  doğrusallığı ve $GH=2.OG$  olduğundan $GH=2$  bulunur.

[diktendik]

$CH\cap AB=F$ olsun. $BF=FH=3,AF=6$ olduğu açıktır. $[AB]$'nin orta noktası $D$ olmak üzere $CG:GD=2=CH:FH$ olduğundan $GH\parallel AB$ ve $GH:FD=GH:3=2:3$ olur. $GH=2$ gelir.

[Seyit Çetin]

Analitik çözüm