Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 15

[Metin Can Aydemir]

$a_0, a_1, a_2, \dots$ gerçek sayı dizisi $a_0 = 3$ ve her $n \geq 1$ için $$\frac{a_n+1}{n} = \frac{a^2_{n - 1}}{n} + 2a_{n-1} + n - 1
$$ olacak şekilde tanımlanıyor. $k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $|a_{2025} - 2^k|$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2023 \qquad \textbf{b)}\ 2024 \qquad \textbf{c)}\ 2025 \qquad \textbf{d)}\ 2026 \qquad \textbf{e)}\ 2027$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{D}$

Verilen denklemde $n$ yerine $n+1$ yazarsak $a_{n+1}=(a_{n}+n+1)^2-n-2$ olur. $a_n=2^{2^{n+1}}-n-1$ ise denklemden $ a_{n+1}=2^{2^{n+2}}-n-2$ olduğu açıktır. Ve $a_0$ koşulu sağladığından tüm $n$'ler için karakteristik denklem budur. $a_{2025}=2^t-2026$ olur. $k=t$ için ifade maksimum değer olan $2026$'yı alır.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$a_n + n + 1 = a_{n-1}^2 +2na_n + n^2  = (a_{n-1} + n)^2$ olur. $a_n + n + 1 = b_n$ denirse $b_0 = a_0 + 1 = 3 + 1 = 4$ olur. Ayrıca her $n\geq 1$ tam sayısı için $$ b_n = b_{n-1}^2$$  elde edilir. Birkaç terim hesaplanırsa $b_1 = 4^2$, $b_2 = 4^4$, $b_3 = 4^8$ bulunur. Tümevarım uygulayarak $b_n = 4^{2^n}$ buluruz. Böylece $a_{n} =  4^{2^n} - n - 1$ elde edilir.

$a_{2025} =  4^{2^{2025}} - 2026 =  2^{2^{2026}} - 2026$ olur.

$k$ pozitif tam sayı olmak üzere, $S=|a_{2025} - 2^k| = |2^{2^{2026}} - 2026 - 2^k|$ ifadesinin minimum değerini alması için $k = 2^{2026}$ olarak seçilmelidir. Bu halde $S{\min} = 2026$ olur.

Normalde $2026$ terimini küçültmek için $2^{11} = 2048$ gibi değerleri de düşünebilirdik. Fakat burada $2^{2^{2026}}$ terimi çok büyük bir sayıdır. Eğer $k = 2^{2026}$ yerine $k +1 = 2^{2026} + 1$ veya $k -1 = 2^{2026} - 1$ sayıları kullanılacak olursa $S$'nin değeri çok büyük biçimde artacaktır.