Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 10

[Metin Can Aydemir]

$\operatorname{ebob}(a,b) = 22!$ ve $\operatorname{ekok}(a,b) = 33!$ koşullarını sağlayan kaç tane sıralı $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 498 \qquad \textbf{b)}\ 504 \qquad \textbf{c)}\ 512 \qquad \textbf{d)}\ 524 \qquad \textbf{e)}\ 532$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$\operatorname{ebob}(a,b)=22!$ olduğundan $\operatorname{ebob}(u,v)=1$ ve $a=22!u$ ve $b=22!v$ olacak şekilde tek bir $u,v$ pozitif tamsayıları vardır. $$\operatorname{ekok}(a,b)=22!uv=33!\implies uv=23\cdot 24\cdots 33=2^{12}\cdot 3^6\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 23\cdot 29\cdot 31$$ olacaktır. $u$ ve $v$ aralarında asal olduğundan asal çarpanları farklı olmalıdır. $uv$'nin $9$ tane asal böleni olduğundan $u$'nun alabileceği $2^9=512$ değer vardır. Her $u$ için tek bir $v$ vardır (aralarında asallık barizdir) ve tek bir sıralı $(a,b)$ ikilisi bulabiliriz. Dolayısıyla, $512$ tane ikili vardır.