Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 13

[Metin Can Aydemir]

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 2$ ve $|AC| = 1$ olsun. $AB$ doğrusuna göre $C$ ile farklı tarafta yer alan bir $M$ noktası, $m(\widehat{MAB}) = 90^\circ$ ve $|MA| = |AB|$ koşullarını sağlıyor. $AC$ doğrusuna göre $B$ ile farklı tarafta yer alan bir $N$ noktası, $m(\widehat{NAC}) = 90^\circ$ ve $|NA| = |AC|$ koşullarını sağlıyor. $MNA$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $OA$ ve $BC$ doğruları $D$ noktasında kesişiyorsa, $\dfrac{|BD|}{|CD|}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{2} \qquad \textbf{b)}\ 1 \qquad \textbf{c)}\ \sqrt{2} \qquad \textbf{d)}\ 2 \qquad \textbf{e)}\ 4$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {E}$

Bahsi geçen çemberin yarıçapı $r$ olsun. $\angle{NAO}=\alpha,\angle{MAO}=\theta$ olsun. $\angle{CAD}=90^\circ-\alpha,\angle{BAD}=90^\circ-\theta$ olur. $ABD$ ve $ACD$ ücgenlerinde sinüs teoremlerinden $\dfrac{BD}{CD}=2\cdot \dfrac{\sin{(90^\circ-\theta)}}{\sin{(90^\circ-\alpha)}}=2\cdot \dfrac{\cos{\theta}}{\cos{\alpha}}=2\cdot \dfrac{\dfrac{1}{r}}{\dfrac{1}{2r}}=4$ olur.

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

Bu soru, Lise 1. Aşama 2001/33 sorusunun rakamları değiştirilmiş halidir.
Eski sorudaki tüm çözümler, bu soru için de geçerlidir.
Eski sorudaki çözümlerden en kolayı, $\angle BAC =90^\circ$ kabul edip Öklid uygulamak. Soruda buna engel bir durum söz konusu değil.

Genel olarak baktığımızda $AD$, $ABC$ üçgeninde kenarortaysı (simedyan) çıkıyor. Kenarortaysı ile ilgili, $\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB^2}{AC^2}$ eşitliği elde ediliyor.