Çember ve elips ile düzlemi bölme

[alpercay]

$a)$ Düzlemi $n$ adet çember ile en fazla kaç alt bölgeye ayırabiliriz?

$b)$ Düzlemi $n$ adet elips ile en fazla kaç alt bölgeye ayırabiliriz?

[alpercay]

a) Düzlemdeki $n$ çemberin düzlemi ayırdığı maksimum alt bölge sayısını $B(n)$ ile gösterelim.

$B(0)=1, B(1)=2, B(2)=4, B(3)=8$ olduğunu görebiliriz. Bir çember diğer bir çemberi kestiğinde bölge sayısını $2$ arttırdığını ve bu artışın iki çemberin kesim noktalarının sayısı olan $2$ ye eşit

olduğunu gözlemleyelim. Buna göre $n$ inci çember kendisinden önceki $n-1$ çember ile  en çok $2(n-1)$ noktada kesişecektir; yani $n-1$ çemberin oluşturduğu bölge sayısına $2(n-1)$ bölge

daha eklenmelidir. Matematiksel olarak $n$ inci çember çizildiğinde oluşan bölge sayısı için $$B(n)=B(n-1)+2(n-1)$$ bağıntısını yazabiliriz. Bağıntıyı $2,3,4,...,n$ değerleri için yazıp toplarsak  $$B(n)=B(1)+\sum 2(n-1)=n^2-n+2$$  bulunur.