$p_i$'ler farklı tek asallar olmak üzere $n$'yi $2^{\ell}p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_k^{c_k}$ olarak yazabiliriz. Bu durumda $(a_0,b_0):=(a^{n/2^{\ell}},b^{n/2^{\ell}})$ ve $(a_i,b_i):=(a^{n/p_i^{c_i}},b^{n/p_i^{c_i}})$ dersek, $$2n\mid \varphi(a^n+b^n)\iff 2^{\ell+1}\mid \varphi(a_0^{2^{\ell}}+b_0^{2^{\ell}})\quad\text{ve}\quad p_i^{c_i}\mid \varphi(a_i^{p_i^{c_i}}+b_i^{p_i^{c_i}})\quad i=1,2,\dots,k$$ olacaktır. Yani $n=2^{\ell}$ için iddiayı kanıtlamak ve asal kuvvetler için $n\mid \varphi(a^n+b^n)$ olduğunu göstermek yeterlidir.
$n=2^{\ell}$ olsun. $a$ ve $b$ aralarında asal olduğundan $(b,a^n+b^n)=1$'dir. $b$'nin $a^n+b^n$ modundaki çarpımsal tersini $\overline{b}$ ile gösterelim. Euler teoreminden, $$(a\overline{b})^{\varphi(a^n+b^n)}\equiv 1\pmod{a^n+b^n}$$ olacaktır, ayrıca $$a^n\equiv -b^n\pmod{a^n+b^n}\implies (a\overline{b})^n\equiv -1\pmod{a^n+b^n}\implies (a\overline{b})^{2n}\equiv 1\pmod{a^n+b^n}$$ olduğunu biliyoruz. $a\overline{b}$'nin mertebesi $d$ olsun. Bu durumda $d\mid \varphi(a^n+b^n)$, $d\mid 2n$ ve $d\nmid n$ olacaktır. $n$, $2$'nin bir kuvveti olduğundan bunun tek yolu $d=2n=2^{\ell+1}$ olmasıdır. Buradan da $n=2^{\ell}$ için $2n\mid \varphi(a^n+b^n)$ bulunur.
Şimdi ise $p$ tek bir asal sayı olmak üzere $n=p^{\ell}$ olsun. Yukarıdaki işlemlerin aynısını yaparsak, $a\overline{b}$'nin mertebesi $k\leq \ell$ olmak üzere $d=2p^{k}$ formatında olmak zorunda olacaktır. Eğer $k=\ell$ ise $d=2n\mid \varphi(a^n+b^n)$ olacağından ispat biter. Bu yüzden $k\leq \ell-1$ olduğunu varsayalım. $d<n$ olacaktır. $$(a\overline{b})^d\equiv 1\pmod{a^n+b^n}\implies a^d\equiv b^d\pmod{a^n+b^n}$$ elde edilir. Bariz bir şekilde $0<a^d,b^d<a^n+b^n$ olduğundan $a=b$ olmalıdır. Ancak $a$ ve $b$ aralarında asal olduğundan bunun tek yolu $a=b=1$ olmasıdır. Ancak bu durumda da $a\overline{b}=1$'nin mertebesi $1$ olacaktır, bu bir çelişkidir. Sonuç olarak $d=2n$ olmalıdır ve $n=p^{\ell}$ için $n\mid \varphi(a^n+b^n)$ bulunur. İspat biter.
Not: Burada ayrı incelediğim iki durum aslında çok ufak modifikasyonlarla tek durumda birleştirilebilir, hatta asal kuvvetler yerine $n$'yi direkt olarak inceleyebiliriz.
