USAMO 2025'ten geometri sorusu (Problem 4)

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Dar açılı $ABC$  üçgeninde $H$  diklik merkezi, $CF$  ise üçgenin yüksekliği olsun. $P$  noktası ise $H$  diklik merkezinin $BC$  ye göre simetriği olsun. $(AFP)$  çevrel çemberi $BC$  doğrusunu $X$  ve $Y$  de kesiyorsa $XC=CY$  olduğunu gösteriniz.

[geo]

$AD$ yükseklik ve $Y\in [BC]$ olsun. $CF$, $(AFP)$ yi $Z$ de kessin. $(AFP)$ nin merkezi $O$ olsun.
$\angle AFZ = \angle APZ = 90^\circ$.
$PZ\parallel CD$ olduğu için $HD/DP=HC/CZ=1$.
Buradan farklı yollardan sonuca gidilebilir. Birini verelim.
$AO/OZ=CH/CZ=1$ olduğu için $OC\parallel AD$, dolayısıyla $OC\perp XY$. Bu da $CX=CY$ demektir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Elinize sağlık hocam. Alternatif olarak paralellik elde edildikten sonra $XPKY$  yamuğu ikizkenar olur ve $HC=PC=ZC$  olduğundan $C$  orta nokta olarak elde edilebilir.

Ayrıca $C$  noktasının $ZH$  doğru parçasının orta noktası olduğunu kuvvetle de görebiliriz. $AH.HP=2AH.HD=2CH.HF=ZH.HF$  olduğundan $C$  orta noktadır.

Probleme ek olarak, $EHKJ$  paralelkenar olacak şekilde bir $J$  noktası alınsın. Bu nokta $(AFP)$  üzerindedir. Bunu şu şekilde ispatlayabiliriz. $AC\cap (AFP)=K$  olsun.
$$KC.CA=CF.CZ=CH.HF=CE.CA$$
olduğundan $KC=CE$, $HC=CZ$, $EHZK$  paralelkenardır (Böyle bir paralelkenar tek olduğundan tersten ilerlenilebilir). İkinci yol olarak ise $EHZK$  nin paralelkenar olduğunu daha basit bir şekilde $\angle FZK=\angle FAC=\angle EHZ$  ile de gösterebilirdik.