USAMO 1983'ten pozitif reel kök için gerek şart (P2)

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Problem (USAMO 1983/2)
Aşağıdaki 5. dereceden denklemde
$$x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$$
$2a^2>5b$  ise beş kökün hepsinin birden pozitif reel olamayacağını ispatlayınız.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Problemin aslında $n.$  dereceden denklem için de bir genelleştirmesini şu şekilde yapabiliriz:

Genelleştirme 1
Aşağıdaki $n$. dereceden denklemde
$$x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots++a_{n-1}x+a_n=0$$
$2a_1^2>\dfrac{4n}{n-1}a_2$  ise $n$  kökün hepsinin birden pozitif reel olamayacağını ispatlayınız.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Problemin genel halini ispatlayalım. Kökler $x_1,x_2,\cdots,x_n$  olsun. $\sum_{i=1}^{n}{x_i}=-a_1$  ve $\sum_{1\leq i<j\leq n}{x_ix_j}=a_2$  olur. Köklerin hepsinin birden pozitif reel sayılar olduğu durumda, Maclaurin Eşitsizliği'nden
$$\left(\sum_{i=1}^{n}{x_i}\right)^2\geq \dfrac{2n}{n-1}\left(\sum_{1\leq i<j\leq n}{x_ix_j}\right)\Longrightarrow a_1^2\geq \dfrac{2n}{n-1}a_2$$
olmalıdır, yani köklerin hepsinin birden positif reel sayılar olmasının gerek şartı $a_1^2\geq \dfrac{2n}{n-1}a_2$  dır. Dolayısıyla $a_1^2<\dfrac{2n}{n-1}a_2$  olduğunda $x_1,x_2,\cdots,x_n$  hepsi birden pozitif reel sayı olamaz.