Genel Çözüm: Detaylar eksik olduğundan kendi varsayımlarımla çözeceğim. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ve her $x,y\in\mathbb{R}$ için verilen eşitliğin sağlandığını varsayacağım.
$y=\frac{x}{2}$ seçersek, $f^2\left(\frac{x}{2}\right)=f(x)\geq 0$ olacaktır. Eğer $f(a)=0$ ise $$0=f(5-a)\cdot f(a)=f(5)$$ olacağından $f(5)\neq 0$ olmasıyla çelişir ve $f(x)>0$ buluruz. $f(x)=e^{g(x)}$ veya $g(x)=\ln f(x)$ olacak şekilde bir $g$ fonksiyonu vardır. Bu dönüşümle, $$g(x-y)+g(y)=g(x)$$ ve $g(5)=\ln 32$ elde ederiz. Bu eşitlikte $x\to x+y$ yazarsak, $g(x)+g(y)=g(x+y)$ elde ederiz. Bu Cauchy fonksiyonel eşitliğidir ve çözümü $c$ bir sabit olmak üzere
rasyonel sayılarda $g(x)=cx$ formatındadır. $g(5)=5c=\ln 32=5\ln 2$ olduğundan $c=\ln 2$ ve $x$ rasyonel sayıları için $g(x)=x\ln 2$ ve $f(x)=2^x$ bulunur. Dolayısıyla, $f(7)=2^7=128$'dir.
Bu genel bir çözümdü. $\mathbb{R}$ yerine $\mathbb{Q}$'da tanımlı bir fonksiyon verilseydi (tabi $\mathbb{R}$ olduğunu ben varsaydım
) veya sürekli olduğunu bilseydik tüm çözümlerin $f(x)=2^x$ olduğunu söyleyebilirdik. Daha basit ve genel çözümle ilgilenmeyen bir çözüm de verebiliriz,
Basit Çözüm: Verilen eşitlikte $y=1$ koyarsak, $f(x-1)f(1)=f(x)$ elde ederiz. Dolayısıyla, $$f(5)=f(4)f(1)=f(3)f(1)^2=\cdots=f(1)^5\implies f(1)=2$$ elde edilir. Benzer şekilde $$f(7)=f(6)f(1)=f(5)f(1)^2=32\cdot 2^2=128$$ elde edilir.
