Denklemin reel sayılarda çözüleceğini varsayıyoruz. Karmaşık sayılarda sonsuz çoklukta $(a,b,c)$ üçlüsü vardır.
Çözüm [Lokman Gökçe]: Kareler toplamı denkleminden dolayı $a^2\leq 1$ olup $|a|\leq 1$ dir. Benzer şekilde $|b|,|c|\leq 1$ dir. $-1\leq a \leq 1$ olduğundan, $a=0$ ve $a=1$ hariç, $a^3 < a^2$ elde edilir. $a,b,c \not \in \{0, 1 \}$ olsun. Benzer şekilde $b^3 < b^2$ ve $c^3 < c^2$ elde edilir. Bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplarsak $a^2+b^2+c^2 > a^3+b^3+c^3$ olup denklemin çözümü yoktur.
O halde $a=1$ için $b^2 + c^2 = 0$ olup $b=c=0$ çözümü elde edilir. $a=0$ için $b^2 + c^2 = 1$ ve $b^3 + c^3 = 1$ olur. Benzer eşitsizlikleri yazarsak bu indirgenmiş denklem sisteminde de $b=0, c=1$ veya $b=1, c=0$ çözümlerine ulaşılır.
Sonuç olarak tüm çözümler $(a,b,c) = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ olup 3 tanedir.
Bu çözümden anlaşılıyor ki probleme bir genelleme de verebiliriz:
Genelleştirme: $a_1, a_2, \dots, a_n$ gerçel sayılar ve $b_i \leq c_i$ pozitif tam sayılar olsun, ($i = 1, 2, \dots, n$). Bu durumda
$$a_1^{2b_1} + a_2^{2b_2} + \cdots + a_n^{2b_n} = 1$$
$$a_1^{2c_1+1} + a_2^{2c_2 + 1} + \cdots + a_n^{2c_n +1} = 1$$
denklem sisteminin tüm çözümleri $(1, 0, 0, \dots, 0)$ ve permütasyonları olup $n$ tanedir. İspatı, önceki problemdeki gibi yapılır. Yani $a_1=0$ veya $a_1=1$ durumlarında çözüm vardır. $a_1=0$ için denklemler daha az değişkene indirgenerek çözüm prosedürü sürdürülür.
Örnek: $a^2+b^4+c^6 + d^8 =1$ ve $a^3+b^9+c^7 + d^{11} =1$ denkleminin gerçel sayılardaki tüm çözümleri $(a,b,c,d) = (1,0,0,0)$ ve permütasyonlarıdır. $4$ tane çözüm dörtlüsü vardır.
