Aritmetik fonksiyon denklemi

[Metin Can Aydemir]

Problem (Metin Can Aydemir): Her $a,b\in\mathbb{Z}^+$ için $$f(a^2+b^2)=f(ab)=f(a)f(b)$$ olan aritmetik fonksiyonları bulunuz.

Not: $f:\mathbb{Z}^+\to \mathbb{C}$ olan fonksiyonlara aritmetik fonksiyon denir.

[diktendik]

$a=b=1$ koyarsak $f^2(1)=f(1)$ ve $f(1)=1$ yada $f(1)=0$ bulunur. İkinci koşul için basitçe her $a$ pozitif tamsayısı için $f(a)=0$ olur. $f(1)=1$ ise $a=b=1$ için $f(2)=1$ olur.
 $$a=2x^2,b=1\implies f(4x^4+1)=f(4x^4+4x^2+1-4x^2)=f((2x^2-2x+1)(2x^2+2x+1))$$$$=f(2x^2)f(1)=f(2x^2)=f(x^2)=f^2(x)=f(2x^2-2x+1)f(2x^2+2x+1)=f(x^2+(x-1)^2)$$$$f(x^2+(x+1)^2)=f(x)f(x-1)f(x)f(x+1)=f^2(x)f(x-1)f(x+1)\implies$$$$ f^2(x)[f(x-1)f(x+1)-1]=0$$ herhangi bir $x$ tamsayisi için $f(x)=0$ ise baştaki koşuldan tüm $f(a)$'lar $0$ olur halbuki $f(1)=f(2)=1$. O halde tüm $x$ tamsayıları icin $f(x-1)f(x+1)=1$ ve $f(1)=f(2)=1$ olduğundan tümevadımla tüm $x$ tamsayiları için $f(x)=1$ bulunur.

[Metin Can Aydemir]

$f(1\cdot 1)=f(1)\cdot f(1)$ olduğundan $f(1)=0$ veya $f(1)$'dir. Eğer $f(1)=0$ ise her $a\in\mathbb{Z}^+$ için $$f(a\cdot 1)=f(a)f(1)=0$$ elde edilir. $f(1)=1$ üzerinden gidelim. $$f(2)=f(1^2+1^2)=f(1)f(1)=1$$ olacaktır. $p_1,p_2,\dots$ ile asal sayıları küçükten büyüğe sıralayalım. $f(p_1)=f(2)=1$'dir. $1\leq k\leq n-1$ için $f(p_k)=1$ oldığunu varsayalım. Eğer $m$'nin tüm asal bölenleri $p_n$'den küçükse verilen ikinci eşitlikten dolayı $f(m)=1$ olacaktır.

$p_n\equiv 1\pmod{4}$ ise $p=a^2+b^2$ olacak şekilde $a,b$ pozitif tamsayıları vardır. $a,b<p_n$ olduğundan bu sayıların asal bölenleri de $p_n$'den küçüktür ve $$f(p_n)=f(a^2+b^2)=f(a)f(b)=1$$ olacaktır.

$p_n\equiv 3\pmod{4}$ ise $m=p_n^2+1$ sayısına bakalım. Bu sayı, iki tamkarenin toplamı olduğundan asal çarpanlarına ayrılmış halinde $4k+3$ formatındaki asalların kuvveti çift olmalıdır. $p_n^2+1<p_{n+1}^2$ ve $p_n\nmid p_n^2+1$ olduğundan asal çarpanlarından $4k+3$ formatında olanların hepsi $p_n$'den küçüktür. Eğer $p_n$'den büyük bir asal böleni varsa tek bir tanedir ve $4k+1$ formatındadır çünkü $p_n$'den büyük en az iki asal bölen olması $pq>p_n^2+1$ olmasıyla sonuçlanır. Eğer böyle bir asal bölen yoksa, tüm asal çarpanlar $p_n$'den küçük olduğundan $$1=f(p_n^2+1)=f(p_n)f(1)=f(p_n)$$ olur ve istediğimiz sonuca ulaşırız. Eğer böyle bir $p$ asalı varsa, $p=c^2+d^2$ olacak şekilde $c$ ve $d$ pozitif tamsayıları vardır. $\frac{p_n^2+1}{p}$'nin tüm asal bölenleri $p_n$'den küçük olduğundan $f\left(\frac{p_n^2+1}{p}\right)=1$'dir. Dolayısıyla, $$f(p_n)=f(p_n^2+1)=f\left(\frac{p_n^2+1}{p}\right)f(p)=f(p)$$ elde edilir. $p_n^2+1$ çift ama $p$ tek olduğundan, $c^2+d^2=p<p_n^2+1$ olduğundan $c,d<p_n$'dir. Dolayısıyla, önceki duruma benzer şekilde $f(c)=f(d)=1$'dir. Dolayısıyla, $$f(p_n)=f(p)=f(c^2+d^2)=f(c)f(d)=1$$ bulunur. Tümevarımdan, her $p$ asalı için $f(p)=1$'dir.

$f(1)=1$ olduğundan ve $n>1$ olan her sayı asal çarpanlarına ayrılabildiğinden $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ ise $$f(n)=\left(f(p_1)\right)^{a_1}\left(f(p_2)\right)^{a_2}\cdots \left(f(p_k)\right)^{a_k}=1$$ olacaktır. Yani her $n\in\mathbb{Z}^+$ için $f(n)=1$'dir.