$f(a_n)\mid a_n$ sağlanır. $a_n=f(a_n)g(a_n)$ olsun.
İddia. $f(a_{n+1})\geq f(a_n),\forall n\in\mathbb{N}.$
İspat. $a_n=\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$ olsun. ($p_i$ ler asal ve $\alpha_i \geq 1$) Bu durumda
$$a_{n+1}=(p_1p_2\dots p_k)\left(1+\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i-1}\right)$$
sağlanır. Buradan anlaşılır ki $\forall p\mid a_n$ asalı için $p\mid a_{n+1}$. Bu ise iddianın doğruluğunu göstermek için yeterlidir.
İddia. $g(a_{n+1})-g(a_n)\leq 1, \forall n\in\mathbb{N}.$
İspat. Önceki iddiadan $\frac{f(a_n)}{f(a_{n+1})}\leq 1$ olduğu görülür. Buradan hareketle
$$g(a_n)+1\geq \frac{f(a_n)[g(a_n)+1]}{f(a_{n+1})}=\frac{a_n+f(a_n)}{f(a_{n+1})}=\frac{a_{n+1}}{f(a_{n+1})}=g(a_{n+1})$$
elde edilir, ki bu iddianın ispatı için yeterlidir.
Sonuç. $g$ sınırsız ise $g(a_n)$ fonksiyonu $\{x\in\mathbb{Z}\mid x\geq g(a_m)\}$ kümesinde örtendir, öyle ki $g(a_i)\geq g(a_m),\forall i\in\mathbb{N}.$
İddia. $g(a_m)=1.$
İspat. $g(a_m)$ bir $t\leq q-1$ için $f(a_m)$'yi bölmeyen ve $g(a_{m+t})$'yi bölen bir $q$ asalı olana kadar bir bir artacaktır. Önceki iddiadan
$$g(a_{m+t})\leq \frac{g(a_m)+t}{q}\leq \frac{g(a_m)+q-1}{q}\Rightarrow q\cdot g(a_m)\leq q\cdot g(a_{m+t})\leq g(a_m)+q-1\Rightarrow 0<g(a_m)\leq 1$$
gelir, ki bu iddianın ispatı için yeterlidir.
İddia. $f(a_{n+1})=f(a_n)\Rightarrow g(a_{n+1})-g(a_n)=1.$
İspat. $f(a_i)>0,\forall i\in\mathbb{N}\Rightarrow a_n$ dizisi monoton artandır. Dolayısıyla ikinci iddiayı da göz önünde bulundurursak
$$f(a_{n+1})=f(a_n)\Rightarrow 1<\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{f(a_{n+1})g(a_{n+1})}{f(a_n)g(a_n)}\Rightarrow 0<g(a_{n+1})-g(a_n)\leq 1$$
elde edilir. Bu ise iddianın ispatı için yeterlidir.
İddia. $g(a_n)$ dizisi sınırsızdır.
İspat. İlk iddiadaki eşitsizliğin eşitlik durumunu alalım. Bunun sağlanması için
$$\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i-1}=1\Rightarrow \alpha_i=1,\forall i\in\{1,2,\dots, k\}$$
olması lazım. Öyleyse eşitlik sağlanıyorsa $a_n$'in karebölensiz (squarefree) bir sayı olması gerekir. Bu ise $g(a_{n})=1$ ise sağlanır. Üçüncü iddiadan bunun en az bir kez sağlanacağını biliyoruz. Önceki iddiadan da bu eşitlik durumu her sağlandığında $g$'nin arttığını biliyoruz. Öyleyse $g$ artarken daha önce $a_n$ dizisinin hiçbir terimini bölmeyen bir asala eşit olduğunda $1$ durumuna geri döner. Bu durum sürekli tekrarlanacağından $g$ sürekli olarak artar, yani üst sınırı yoktur çünkü asal sayılar da sonsuz miktardadır.
Sonuç. $g(a_n)$, $\mathbb{Z}$ kümesini örter. Dolayısıyla soruda verilen ifade ispatlanmış olur. $\blacksquare$
