Bir p-adic sınırlama problemi

[ygzgndgn]

$a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olsun.
$$\left(a+\frac{1}{2}\right)^n+\left(b+\frac{1}{2}\right)^n$$
ifadesinin bir tam sayıya eşit olmasını sağlayan negatif olmayan $n$ tam sayılarının sonlu olduğunu gösteriniz.

[ygzgndgn]

Lemma. (Lifting the Exponent, p=2) $v_p(\alpha)$, $\alpha$ tam sayısını bölen $p$ nin en büyük kuvvetini göstersin.
$n$ çift ve $2\mid x+y$ ise $v_2(x^n+y^n)=1$
$n$ tek ve $2\mid x+y$ ise $v_2(x^n+y^n)=v_2(x+y)$ sağlanır.

İspat. İfade çarpanlarına ayılır ve $\mod{2}$ de inceleme yapılır. Bu soru için $x\equiv y\equiv 1\pmod{2}$ durumunun incelenmesi yeterlidir.

Buradan soruyu çözelim. İfadeyi düzenlersek
$$\left(a+\frac{1}{2}\right)^n+\left(b+\frac{1}{2}\right)^n\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2^n\mid (2a+1)^n+(2b+1)^n$$
olması gerektiğini görürüz. Fakat Lemma'dan bu
$$n\leq v_2((2a+1)^n+(2b+1)^n)\leq v_2(2a+2b+2)=v_2(a+b+1)+1$$
olmasına denktir. Böylelikle verilmiş $a,b$ pozitif tam sayıları için $n$ ye bir üst sınır bulmuş olduk. İspat biter. $\blacksquare$