Pascal Teoremi

[gahiax]

Bir çember üzerinde $A,B,C,D,E$ ve $F$ noktaları alınarak oluşturulan altıgende $Y = AB \cap DE \ , \ X = BC \cap EF \ , \ Z = CD \cap FA$ ise, $Y-X-Z$ noktaları doğrusal olur.

[Lokman Gökçe]

problem, pascal teoreminin 'konveks olmayan kirişler altıgeni' versiyonudur. Literatürde mevcuttur. Osman hocam çözümü vermiş...Aşağıda şekilde de konveks kirişler altıgeni için pascal teoremi: L, H, K noktalarınn doğrusal olduğunu söyler...

[sgmx]

pascal teoreminin 'konveks olmayan kirişler altıgeni' versiyonuna Lokman Hocamın yardımıyla biraz farklı ispat yaptık.

[geo]

Pascal Teoreminde köşelerin sırasının önemli olmadığı daha önce vurgulanmış.
Pratik olarak uygulamak için nasıl bir yöntem uyguladığımdan bahsetmek istiyorum.

$AB \ (1)$, $BC \ (2)$, $CD \ (3)$, $DE \ (4)$, $EF \ (5)$, $FA \ (6)$ kirişlerini $1$ den $6$ ya kadar numaralandırıyorum. (Söz konusu kirişler, çember üzerindeki $6$ noktanın birinden başlayıp tekrar aynı noktaya döndüğümüz bir yolun $6$ kenarı)
$(1)$ ile $(4)$, $(2)$ ile $(5)$, $(3)$ ile $(6)$ doğrularının kesişimleri doğrusal oluyor.

Kirişler yerine teğetler de kullanabiliyoruz. Örneğin, $A, B, C, C, D, E$ şeklinde de Pascal Teoremi'ni uygulayabiliyoruz. Bu durumda kirişler; $AB \ (1)$, $BC \ (2)$, $CC \ (3)$, $CD \ (4)$, $DE \ (5)$, $EA \ (6)$ şeklinde isimlendiriliyor. $CC$ ile çemberin $C$ noktasındaki teğeti ifade ediliyor.

[geo]

Pascal Teoremi'ni Menelaus kullanarak ispatlayalım: (Kaynak: Geometry Revisited (Coxeter & Greitzer))

$(1)$ ile $(4)$ ün kesişimine $L$, $(2)$ ile $(5)$ ün kesişimine $M$, $(3)$ ile $(6)$ nın kesişimine $N$ diyelim.

$(1)$, $(3)$, $(5)$ doğrularının belirttiği üçgen için sırasıyla $(2)$ üzerindeki, $(4)$ üzerindeki ve $(6)$ üzerindeki noktalar için Menelaus uygulayalım.

Son cümlemizi biraz daha açalım:
$(3)$ ile $(5)$ in kesişimi $U$, $(1)$ ile $(5)$ in kesişimi $V$, $(1)$ ile $(3)$ ün kesişimi $W$ olsun.
$UVW$ üçgeninde $(2)$ üzerindeki $B$, $C$, $M$ noktaları için; $(4)$ üzerindeki $D$, $E$, $L$ noktaları için, $(6)$ üzerindeki $A$, $F$, $N$ noktaları için Menelaus uygulayacağız:
$$\dfrac{UM}{MV} \cdot \dfrac{VB}{BW} \cdot \dfrac{WC}{CU} = 1, \quad \dfrac{UE}{EV} \cdot \dfrac{VL}{LW} \cdot \dfrac{WD}{DU} = 1, \quad \dfrac{UF}{FV} \cdot \dfrac{VA}{AW} \cdot \dfrac{WN}{NU} = 1$$
Taraf tarafa çarpıp düzenlediğimizde $$ \left ( \dfrac{UE \cdot UF}{DU \cdot CU} \cdot \dfrac{WC \cdot WD}{BW \cdot AW} \cdot \dfrac{VB \cdot VA}{EV \cdot FV} \right ) \cdot \left ( \dfrac{UM}{MV} \cdot \dfrac{VL}{LW} \cdot \dfrac{WN}{NU} \right )  = 1$$ elde ederiz.
Çemberde kuvvetten ilk parantezin içindeki kesirler $1$ e eşit olur. Bu durumda ikinci parantezin içerisi de $1$ e eşit olur. Bu da $UVW$ üçgeni ve $M$, $L$, $N$ noktaları için Menelaus Teoremi'nin tersinin denklemidir. O halde, $L$, $M$, $N$ doğrusaldır. $\blacksquare$

Geogebra/Pascal etkinliğinde, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ noktalarının yerlerini değiştirerek Pascal Teoremi'nin değişik formlarını gözlemleyebilirsiniz.
Örneğin, $C$ ile $D$ yi üst üste getirerek altıgen yerine beşgen, kiriş yerine teğet elde ettiğimiz formu gözlemleyebilirsiniz.

[ygzgndgn]

Başka bir ispat sunalım.
$\{X\}=AE\cap BD,\{Y\}=AF\cap CD, \{Z\}=BF\cap CE$ olsun. $Z$ nin $\triangle{CYF}$ deki izogonal eşleniği $Z'$ olsun. Açı yazılırsa
$$\angle{Z'CY}=\angle{ZCF}=\angle{ECF}=\angle{EAF}=\angle{XAY}$$
bulunur. Çember yaylarından
$$\angle{DAX}=\angle{YCZ},\angle{ADX}=\angle{YFZ},\angle{XDY}=\angle{ZFC}$$
gelir. Fakat $Z$ ve $Z'$ izogonal eşlenik olduğundan ötürü $\angle{CYZ'}=\angle{FYZ}$ sağlanır. $A,Y,F$ doğrudaş olduğundan ötürü $X,Y,Z$ doğrudaş bulunur. $\blacksquare$

[Lokman Gökçe]

İzogonal eşlenik kavramı ile verilen ispat ile verdiğimiz trigonometrik ispat temelde aynı fikirdir. İzogonal eşlenik kavramındaki açı eşitliğini de trigonometrik Ceva teoremi ile ispatlayabiliyoruz.