Eğer $c$, $5$'e bölünebiliyorsa, sağ taraf $5$'e bölünmediğinden, $a<5$ olmalıdır. $a!+b!>2024$ olduğundan $b>5$'dir. Yani $a!\equiv 4\pmod{5}$ olacaktır. Buradan $a=4$ bulunur. Denklem ise $$b!=c^4+2000$$ haline gelir. $b>5$ olduğundan $b!-2000$ sayısının $5$'e bölündüğünü biliyoruz. Yani $5^4$'e de bölünmelidir. $2000$ sayısı halihazırda $5^3$'e bölündüğünden, $5^3\mid b!$'dir. Buradan da $b\geq 15$ bulunur. Ancak bu durumda $$b!-2000\equiv -2000\equiv 2\pmod{11}$$ elde edilir. $2$ sadece $8k\pm 1$ formatındaki asallarda karekalandır, dolayısıyla $11$ modunda karekalan değildir ve $c^4\equiv 2\pmod{11}$ olması bir çelişkidir.
Sonuç olarak $c$, $5$'e bölünmez ve sağ taraf Fermat teoreminden $5$'in katı bulunur. Sol taraf ise $5$'e bölündüğünden ve $2024$'ten büyük olduğundan, $a,b\geq 5$'dir. Eğer $a\geq 7$ ise $$c^4+2024\equiv a!+b!\equiv 0\pmod{7}\implies c^4\equiv -1\pmod{7}$$ elde edilir fakat $-1$, sadece $4k+1$ formatındaki asallarda karekalandır, $7$ modunda karekalan olamaz. Bu bir çelişkidir. $a=5$ veya $a=6$ olmalıdır.
$a=6$ ise $b!=c^4+1304$ olacaktır. $b!>1304$ olduğundan $b\geq 7$'dir ve $$b!-1304\equiv -1304\equiv 5\pmod{7}$$ elde edilir. $5$; $7$ modunda karekalan değildir, dolayısıyla buradan bir çözüm gelmez.
$a=5$ ise $b!=c^4+1904$ elde edilir. $b!>1904$ olduğundan $b\geq 7$'dir. Dolayısıyla $7\mid b!-1904$ olacaktır. $c^4$ sayısı $7$'ye bölünüyorsa $7^4$'e de bölüneceğinden $7^2\mid b!-1904$ olur ve buradan $b<14$ elde edilir. Aksi takdirde, $b!-1904\equiv 7\pmod{49}$ olacaktır.
$b=7$ için $b!-1904=3136=2^6\cdot 7^2$ olur, çözüm gelmez. $b\geq 8$ için $b!-1904$'ün $7^4$'e bölünmesini istediğimizden, $$\frac{b!-1904}{7}\equiv 0\pmod{7}\implies 6!\cdot 8\cdot 9\cdots b-272\equiv 0\pmod{7}$$ Wilson teoreminden, $$(-1)\cdot 1\cdot 2\cdots (b-7)-6\equiv 0\pmod{7}\implies (b-7)!\equiv 1\pmod{7}$$ elde edilir. $1\leq b-7\leq 6$ olduğundan kolaylıkla inceleyebiliriz ve sadece $1!$ ve $5!$'in $1$ kalanı verdiğini görürüz. Yani $b=8$ ve $b=12$'yi denememiz yeterlidir.
$b=8$ için $b!-1904=38416=14^4$'dür. Buradan $(a,b,c)=(5,8,14)$ çözümü bulunur.
$b=12$'yi denersek, $b=8$'in çözüm olduğunu bildiğimizden, $$12!-1904\equiv 8!\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12-1904\equiv 1904\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12-1904\equiv 1904\cdot (11880-1)\pmod{7^4}$$ olacaktır. Ancak $1904$ ve $11879$ sayıları en fazla $7$'ye bölünür, $7^2$'e bölünmez. Dolayısıyla $7^4\nmid 12!-1904$'dür ve çözüm gelmez. Tek çözüm $\boxed{(a,b,c)=(5,8,14)}$ olacaktır.
