Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 16

[matematikolimpiyati]

Pozitif tam sayılardan oluşan $a_1,a_2,...,a_8$ dizisinde $a_8 \leq 9$ ve her $1 \leq i \leq 7$ için $a_i$ sayısı $a_{i+1}$ sayısını bölüyorsa bu diziye uyumlu dizi diyelim. Uyumlu dizi sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 269  \qquad\textbf{b)}\ 276  \qquad\textbf{c)}\ 289  \qquad\textbf{d)}\ 298  \qquad\textbf{e)}\ 302$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$a_8 = 9$ durumunu inceleyerek başlayalım. $a_1, a_2, \dots, a_7 \in \{1, 3, 9\}$ olabilir. $x$ tane $1$, $y$ tane $3$ ve $z$ tane $9$ olsun. $x + y + z = 7$ denkleminin negatif olmayan tam sayılardaki çözüm sayısını bulacağız. Dağılım prensibi ile $\dbinom{9}{2} = 36$ bulunur.

$a_8 = 8$ olsun. $a_1, a_2, \dots, a_7 \in \{1, 2, 4, 8\}$ olabilir. $x$ tane $1$, $y$ tane $2$, $z$ tane $4$ ve $t$ tane $8$ olsun. $x + y + z + t = 7$ denkleminden $\dbinom{10}{3} = 120$ çözüm bulunur.

$a_8 = p$ asal sayısı olsun. $a_1, a_2, \dots, a_7 \in \{1, p\}$ olabilir. $x + y = 7$ denkleminin $8$ çözümü vardır. $p\in \{ 2, 3, 5, 7\}$ olduğundan $8\cdot 4 = 32$ çözüm elde edilir.

$a_8 = 4$ olsun. $a_1, a_2, \dots, a_7 \in \{1, 2, 4\}$ olabilir. $x$ tane $1$, $y$ tane $2$ ve $z$ tane $9$ olsun. $x + y + z = 7$ denkleminin negatif olmayan tam sayılardaki çözüm sayısını dağılım prensibi ile $\dbinom{9}{2} = 36$ buluruz.

Dikkat edilmesi gereken $a_8 = 6$ durumuna bakalım.  $a_1, a_2, \dots, a_7 \in \{1, 2, 6\}$ veya  $a_1, a_2, \dots, a_7 \in \{1, 3, 6\}$ olabilir. Ayrıca  $a_1, a_2, \dots, a_7 \in \{1, 6\}$ kesişim durumlarını da hesaplarız. İçerme dışarma prensibi ile $36 + 36 - 8 = 64$ buluruz.

Son olarak, $a_8 = 1$ ise, her $1\leq i \leq 7$ için $a_i = 1$ olmalıdır. $1$ durum vardır.

Böylece genel toplam $36 + 120 + 32 + 36 + 64 + 1 = 289$ olarak elde edilir.