Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 18

[matematikolimpiyati]

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $m^3-3m^2+3m=8n+8$ eşitliğini sağlayan bir $(m,n)$ ikilisi için $m+n$'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 42  \qquad\textbf{b)}\ 44  \qquad\textbf{c)}\ 46  \qquad\textbf{d)}\ 48  \qquad\textbf{e)}\ 50$

[alpercay]

Yanıt  $\boxed{E}$

Eşitliği $$m^3-3m^2+3m-1=8n+7$$  $$(m-1)^3=8n+7$$ şeklinde yazalım ve modülo 8 de değerlendirelim:  $$(m-1)^3\equiv 7 \mod 8 $$ Bir $x$ tamsayısı için $x^3\equiv 0,1,3,5,7\mod 8$  olduğundan aranan en küçük değerin kolayca $m-1=7$,  $m=8$ ,  $n=42$  olduğundan $m+n=50$ olduğu bulunur.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$n+1 = \dfrac{m}{8}(m^2 -3m + 3)$ yazalım. $m$ nin her tam sayı değeri için $m^2 -3m + 3$ tek tam sayıdır. Dolayısıyla $n$ nin tam sayı olabilmesi için gerek ve yeter şart $8\mid m$ olmasıdır.

Bu halde $m = 8$ için $n + 1 = 8^2 - 3\cdot 8 + 3 = 43$ ve $n=42$ olur. En küçük toplam $m + n = 8 + 42 = 50$ dir.