Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 14

[matematikolimpiyati]

Bir tahtaya $1,2,...,100$ sayıları yazılmıştır. Tahtadaki bir $k$ sayısı dışındaki $99$ sayının aritmetik ortalaması bir tam sayı ise $k$ sayısına hoş sayı diyelim. Tahtadaki tüm hoş sayıların toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 101  \qquad\textbf{b)}\ 108  \qquad\textbf{c)}\ 113  \qquad\textbf{d)}\ 118  \qquad\textbf{e)}\ 127$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$k$ dışındaki sayıların toplamı $(1+2+\cdots+100)-k=\frac{100\cdot 101}{2}-k=5050-k$'dır. Dolayısıyla, bu sayıların aritmetik ortalaması da $\frac{5050-k}{99}$'dur. Bu sayının tamsayı olması için $$k\equiv 5050\equiv 1\pmod{99}$$ olması gerekir. Bu şartı sağlayan $1$'den $100$'e tüm sayılar sadece $1$ ve $100$'dür. Toplamları ise $101$'dir.