Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 27

[matematikolimpiyati]

Birbirinden farklı $x,y,z$ gerçel sayıları,
$$\begin{array}{lcl}
x^2+y^2 &=&  9x+7y+6z \\
y^2+z^2 &=&  7x+7y+8z \\
z^2+x^2 &=&  6x+8y+8z
\end{array}$$
eşitliklerini sağlıyorsa $\dfrac{15x^2+4y^2}{z^2}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[diktendik]

Yanıt: $\boxed D$

İlk iki ifadeyi taraf tarafa çıkarırsak $x^2-z^2=2(x-z)$ elde edilir. Sayılar birbirinden farklı olduğundan $x+z=2$ elde edilir. Son iki ifade taraf tarafa çıkarılırsada $x+y=-1$ elde edilir. İlk denklemde $z=2-x$ ve $y=-1-x$ yerine yazılırsa $x^2+3x-2=0$ elde edilir. Sorunun bizden istediği ifadedede $z$ ve $y$ yi $x$ cinsinden yerine yazarsak bizden istenen ifade $\frac{19x^2+8x+4}{x^2-4x+4}$ olur. $x^2+3x-2=0$ olduğundan $19x^2+57x-38=0$ ve $19x^2+8x+4=-49x+42$ elde edilir. Yine $x^2+3x-2=0$ olduğundan $x^2-4x+4=-7x+6$ olur. Sorunun bizden istediği ifade $\frac{-49x+42}{-7x+6}=7$ olur. Ayrıca buldugumuz $x$'e bağlı ikinci dereceden denklemin kökleri reel olduğundan soruda verilmiş reellik konusunda bir ihlal mevcut değildir. $x = \frac{-\sqrt{17}-3}{2}$, $z=2-x$ ve $y=-1-x$ hesap makinesinde denendiğinde de tüm koşulları sağlar ve ifadenin değerini $7$ verir.

Not:
Resmi kitapçıkta sorunun yanıtı ilk olarak $\boxed E$ verilmiş. Daha sonra $\boxed D$ olarak güncellenmiştir.

[Lokman Gökçe]

Sınava giren öğrenciler itirazda bulabiliyor. Bu problem için cevap anahtarının $D$ şıkkı olarak güncelleneceğini düşünüyorum. Bu problemin değerlendirilmesinde, öğrenciler yönünden bir sorun çıkmayacaktır diye bekliyorum. Çünkü, bu tür sorunlar olduğunda, önceki yıllarda da cevap anahtarının bir kaç gün içinde güncellendiğini görmüştüm.

[geo]

Taraf tarafa toplarsak $x^2+y^2+z^2=11x+11y+11z$ elde ederiz. Buradan $x^2=4x+4y+3z$, $y^2=5x+3y+3z$, $z^2=2x+4y+5z$ elde edilir.

Bize sorulan oran $\dfrac{15x^2+4y^2}{z^2}=\dfrac{80x+72y+57z}{2x+4y+5z}$.

$x^2-y^2=y-x \Longrightarrow x+y=-1$.
$x^2-z^2=2x-2z\Longrightarrow x+z=2$.
İlkini $2$ ile çarpıp taraf tarafa toplarsak $3x+2y+z=0$ elde ederiz.

$\dfrac{80x+72y+57z}{2x+4y+5z}=\dfrac{22(3x+2y+z)+7(2x+4y+5z)}{2x+4y+5z}=7$

[alpercay]

(Resmi Çözüm) Birinci ve  ikinci denkleme bakarsak $x^2-z^2=2(x-z)$, ikinci ve üçüncü denkleme bakarsak $y^2-x^2=x-y$ olup, $x,y,z$ birbirinden farklı olduğundan $z=2-x$ ve $y=-1-x$ elde ederiz. İkinci denklemde yerine koyarsak $(-1-x)^2+(2-x)^2=7x+7(-1-x)+8(2-x)$ ve buradan $x^2+3x-2=0$ buluruz. Dolayısıyla , $x^2=2-3x, y^2=x^2+2x+1=3-x$ ve $z^2=x^2-4x+4=6-7x$ olup $$\dfrac{15x^2+4y^2}{z^2}=\dfrac{15(2-3x)+4(3-x)}{6-7x}=\dfrac{42-49x}{6-7x}=7$$ elde ederiz.