Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 01

[matematikolimpiyati]

$AB \  \  || \ \ CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunda, $E$ noktası $D$ ile $F$ arasında olacak şekilde $[CD]$ üzerinde alınan $E$ ve $F$ noktaları için, $m(\widehat{DAF})=m(\widehat{BAF})=45^{\circ}$, $m(\widehat{CBE})=m(\widehat{ABE})=60^{\circ}$, $|DE|=3$, $|CF|=4$ ise $|AB|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2+4\sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ 3+3\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 5+\sqrt3  \qquad\textbf{d)}\ 4+2\sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{C}$

Yamuğun bir dik yamuk olduğu açıktır. Ayrıca $BEC$ üçgeni eşkenardır. $|EF|=x$ olsun. $ADF$ üçgeni ikizkenar dik üçgen olduğundan $|AD|=x+3$ elde edilir. $B$'den geçip $DC$ ye dik olan doğrunun $DC$ ile kesişimi $Q$ olmak üzere $|QB|=x+3$ olduğundan ve eşkenarlıktan $|QC|=\frac{x+3}{\sqrt{3}}=\frac{x+4}{2}$ olur. Buradan $x=2\sqrt{3}$ ve $|AB|=x+7-\frac{x+4}{2}=\frac{x+10}{2}=5+\sqrt{3}$ elde edilir.