Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 06

[matematikolimpiyati]

$n$ bir pozitif tam sayı ve $a,b,c,d$ pozitif tek tam sayılar olmak üzere, $a^2+b^2+c^2+d^2=11 \cdot 4^n$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,b,c,d,n)$ beşlisi vardır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 16  \qquad\textbf{e)}\ 20$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$x$, tek bir tamsayı ise $x=2\ell+1$ olarak yazılabilir ve $$x^2\equiv 4\ell^2+4\ell+1=4\ell(\ell+1)+1\equiv 1\pmod{8}$$ elde edilir. $a,b,c,d$ tek olduğundan $$a^2+b^2+c^2+d^2=11\cdot 4^n\equiv 4\pmod{8}$$ bulunur, yani $n=1$ olmalıdır. $$a^2+b^2+c^2+d^2=44$$ olduğundan ve $44$'ten küçük tüm tek tamkareler $1,9,25$ olduğundan $a,b,c,d\in\{1,3,5\}$ olmalıdır, ancak $2$ veya daha fazla $5$ olamaz çünkü toplam en az $50$ olur. En az bir $5$ olmalıdır aksi takdirde toplam en fazla $36$ olur.

Genelliği bozmadan $d=5$ olsun. Bu durumda $a^2+b^2+c^2=19$ olacaktır. Sadece $1^2+3^2+3^2$ bunu sağlar. Yani $n=1$ ve $(a,b,c,d)=(1,3,3,5)$ veya permütasyonları bu denklemi sağlar. Tekrarlı permütasyondan $\frac{4!}{2!}=12$ tane çözüm bulunur.