2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 05

[matematikolimpiyati]

Şekilde $|AB|=|AC|$, $AH \perp BC$, $AD \perp EC$, $\angle{BAD}=\angle{DAH}$ ve $5|EB|=2|HC|$ ise $\dfrac{|AE|}{|BD|-|DH|}$ oranı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 45  \qquad\textbf{b)}\ 47  \qquad\textbf{c)}\ 55  \qquad\textbf{d)}\ 50  \qquad\textbf{e)}\ 40$

[diktendik]

$|AE|=x$ olsun. $EC \cap AH = P$ olsun. $|AP|$ da $x$ olur.
$menelaus$ teoremi yazalım. $\frac{5}{10}\cdot\frac{2}{x}\cdot\frac{x}{|PH|} = 1$ $\Rightarrow$ $|PH|=1$. $\triangle{ABH}$'nde pisagordan $5^2+(x+1)^2=(x+2)^2$ $\Rightarrow$ $x=10$. Yine $\triangle{ABH}$'nde iç açıortay teoreminden $\frac{|BD|}{|DH|} = \frac{13}{12}$ gelir. $|BD|+|DH|=5$ olduğundan $|BD|=\frac{13}{5}$ ve $|DH|=\frac{12}{5}$ gelir. Zaten $|AE|=x=11$ olduğunu biliyoruz. Buradan cevap $\frac{11}{\frac{13}{5}-\frac{12}{5}}=55$ gelir.