2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 19

[matematikolimpiyati]

Reel katsayılı ve sabitten farklı $P(x)$ polinomu, her $x$ reel sayısı için,
$$P(3P(x))=3P(P(x))+2(P(x))^2$$ eşitliğini sağlasın. $P(1)=-1$ olduğuna göre, $P(6)$'nın değerini bulunuz.

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 7$

[diktendik]

Polinomun derecesi $n > 2$ ve başkatsayısı $a$ olsun. Sol tarafın derecesi $n^n$ dir. $n>2$ için $n^n > n^2$ olduğundan denklemin sağının başkatsayısı $3a^{n+1}$ dir. Sol arafınki ise $3^na^{n+1}$ olur. Bu ikisi birbirine eşit olduğundan $n = 1$ olur. Çelişki. $n\leq2$ olur. $n=1$ olamaz çünkü Sol arafın derecesi 1 olurken Sağ tarafınki 2 olur. $n=2$ dir. Polinom $P(x) = ax^2+bx+c$ olsun. $(a≠0)$.Sol tarafın başkatsayısı $9a^3$ Sağ tarafınki $3a^3+2a^2$ dir. $a=\frac{1}{6}$ dır. Polinomda $x=0$ yazalım. $P(3c) = 3P(c)+2c^2$ olur. Açarsak $3c^2+3bc+c = 3c^2+3bc+3c$ olur. $c=0$ dır. $P(1)=-1$ olduğundan da $b=\frac{-4}{3}$ elde edilir. $P(x) = \frac{x^2}{3} - \frac{4x}{3}$ tür. $P(6) = 4$ elde edilir.