2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 01

[matematikolimpiyati]

$5^{4 \cdot 19} + 5^{3 \cdot 19} + 5^{2 \cdot 19} + 5^{19}$ sayısının $5^{20}+1$ sayısına bölümünden kalan $m \cdot 5^{n}$ biçimindeyse $m+n$ en az kaçtır? (Burada, $m$ ve $n$ pozitif tam sayılardır.)

$\textbf{a)}\ 100  \qquad\textbf{b)}\ 120  \qquad\textbf{c)}\ 119  \qquad\textbf{d)}\ 129  \qquad\textbf{e)}\ 191$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$5^{19}=K$ diyelim. Bölünen sayı $K^4+K^3+K^2+K$, bölen ise $5K+1$ olacaktır. Polinom bölmesi yaparsak, $$\frac{K^4+K^3+K^2+K}{5K+1}=\frac{K^3}{5}+\frac{4K^2}{25}+\frac{21K}{125}+\frac{104K}{125(5K+1)}$$ olacaktır. $\frac{K^3}{5}+\frac{4K^2}{25}+\frac{21K}{125}$ tamsayıdır ve $104K<125(5K+1)$'dir. Yani kalan $\frac{104K}{125}=104\cdot 5^{16}$ olacaktır. Dolayısıyla $m+n$ en az $104+16=120$'dir.