$\frac{y+x\sqrt{2}}{z+y\sqrt{2}}$ kesrini $z-y\sqrt{2}$ ile genişletelim. $$\frac{y+x\sqrt{2}}{z+y\sqrt{2}}=\frac{(yz-2xy)+(xz-y^2)\sqrt{2}}{z^2-2y^2}=\frac{(yz-2xy)}{z^2-2y^2}+\frac{(xz-y^2)\sqrt{2}}{z^2-2y^2}\in\mathbb{Q}$$ $$\implies xz=y^2.$$ Eğer $a$ ve $b$ karekalansız olmak üzere $x=am^2$ ve $z=bn^2$ olarak yazabiliriz. Çarpımlarının tamkare olmasından da $a=b$ olacağı görülebilir. Dolayısıyla $(x,y,z)=(am^2,amn,an^2)$ şeklinde bir dönüşüm yapılabilir. Diğer denklemlerde bunu kullanırsak, $$\frac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}=\frac{a^2m^4+a^2m^2n^2+a^2n^4}{am^2+amn+an^2}=a(m^2+n^2-mn)=14$$ $$x+y-z=a(m^2+mn-n^2)=22$$ elde edilir. Bu denklemleri taraf tarafa toplarsak, $$2am^2=36\implies x=am^2=18$$ bulunur.
Not: Görmesi çok kolay olmadığı için yukarıdaki nispeten uzun yolu gösterdim. Ancak $$\frac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}=x+z-y\iff x^2+y^2+z^2=(x+y+z)(x+z-y)=(x+z)^2-y^2$$ $$\iff x^2+y^2+z^2=x^2+z^2+2xz-y^2\iff xz=y^2$$ olacaktır. Bu da $\frac{y+x\sqrt2}{z+y\sqrt2}$'in rasyonel olmasından çıkar. Buradan da $$2x=(x+y-z)+(x-y+z)=14+22=36\implies x=18$$ elde edilir.
