Romanya JBMO TST 2019 #1.2 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Her $a,b$ reeli için


$$\dfrac{a+b}{\left(4a^2+3\right)\left(4b^2+3\right)}$$


ifadesinin maksimum değerini bulunuz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Maksimum değeri elde etmek için $a+b>0$ olduğu koşulu incelemek yeterlidir. Cauchy'den
$$\left(4a^2+1+2\right)\left(1+4b^2+2\right)\overbrace{\geq}^{Cauchy} 4\left(a+b+1\right)^2\overbrace{\geq}^{AM-GM} 16\left(a+b\right)$$
olduğunu söyleyebiliriz. O zaman ifademizin maksimum değerini
$$\dfrac{a+b}{\left(4a^2+3\right)\left(4b^2+3\right)}\leq \dfrac{a+b}{16(a+b)}=\dfrac{1}{16}$$
olarak tayin ederiz.