(k₂=1, N=6) Kesen Problemi

[geo]

Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine konusunda anlatılan $(k_2 = 1, N=6)$ problemine ait çözümleri doğrudan ya da dolaylı olarak (ilgili konuya link vererek) bu başlık altında toplayacağız.
Öncelikle, soruyu hatırlatmak gerekirse;

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AB:DC=1$ olacak şekilde $D$ noktası alınıyor. $\angle ABC = b = 20^\circ$, $\angle ACB = c = 40^\circ$, $\angle BAC = a = 120^\circ$, $\angle ADC = d = 30^\circ$, $\angle BAD = a_1 =10^\circ $, $\angle CAD = a_2 = 110^\circ$ açıları verilen şartı sağlamakta. Bunlardan herhangi ikisi verildiğinde diğerlerinin bulunmasının sorulduğu sorular aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{l|l|l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_2 = 1 & 6.0 & (b = 20^\circ, c = 40^\circ, d = 30^\circ)  & k_2 = 1 \\
& 6.1 & (k_2 = 1, b=20^\circ, c = 40^\circ)  & a_1 = 10^\circ \\
& 6.2 & (k_2 = 1, a=120^\circ, d = 30^\circ)  & a_1 = 10^\circ \\
& 6.3 & (k_2 = 1, b=20^\circ, a_1 = 10^\circ)  & a_2 = 110^\circ  \\
& 6.4 & (k_2 = 1, b=20^\circ, a_2 = 110^\circ )  & a_1 = 10^\circ \text{ veya } a_1 = 20^\circ \\
& 6.5^* & (k_2 = 1, c=40^\circ, a_1 = 10^\circ)  & a_2 = 110^\circ \text{ veya } a_2 = ? \\
& 6.6 & (k_2 = 1, c=40^\circ, a_2 = 110^\circ)  & a_1 = 10^\circ \\
& 6.7 & (k_2 = 1, a_1=10^\circ , a_2 = 110^\circ)  & b = 20^\circ \\

\end{array}
$$

İlgili soruların çözümleri:

6.0
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 6.0) \equiv (b=20^\circ , c = 40^\circ, d = 30^\circ) \Longrightarrow k_2 = 1 $

Çözüm:

$CA$ nın uzantısı üzerinde $AB = AE$ olacak şekilde $E$ noktası alalım. $\angle EAB = 60^\circ$ olduğu için $\triangle ABE$ eşkenar olur.
$BE=AE$ ve $2\angle BDA + \angle BEA = 360^\circ$ olduğu için $\triangle ABD$ nin çevrel merkezi $E$ noktasıdır. Bu durumda $EB=ED=EA=AB$ olacaktır.
$\angle EDB = \angle EBD = 80^\circ$ olur. Buradan $\angle DEC = \angle ECD = 40^\circ$ ve $DC=ED=AB$ elde edilir.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 6.1) \equiv (k_2=1, b=20^\circ , c = 40^\circ) \Longrightarrow a_1 = 10^\circ $

Çözüm:

$CA$ nın uzantısı üzerinde $AB = AE$ olacak şekilde $E$ noktası alalım. $\angle EAB = 60^\circ$ olduğu için $\triangle ABE$ eşkenar olur.
$CB$ nin uzantısı üzerinde $AB=EB=BF$ olacak şekilde $F$ noktası alalım. $\angle EBC = 80^\circ$ olduğu için $\angle EFB = 40^\circ$ olacaktır.
Bu durumda $\angle EFC = \angle ECF = 40^\circ$ olduğu için $EC=EF$. Ayrıca $CD=AB=BF$ olduğu için $\triangle EFB \cong ECD$ olacaktır.
$ED=EB=EA$ olduğu için $\triangle ABD$ nin çevrel merkezi $E$ noktasıdır. Bu durumda, $\angle ADB = (360^\circ - \angle BEA ) / 2 = 150^\circ$ ve $a_1 = \angle BAD = 10^\circ$ dir.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 6.2) \equiv (k_2=1, a=120^\circ , d = 30^\circ) \Longrightarrow a_1 = 10^\circ $

Çözüm:

$CA$ nın uzantısı üzerinde $AB = AE$ olacak şekilde $E$ noktası alalım. $\angle EAB = 60^\circ$ olduğu için $\triangle ABE$ eşkenar olur.
$2\angle ADB + AEB = 360^\circ$ olduğu için $\triangle ABD$ nin çevrel merkezi $E$ dir.
Bu durumda $ED=EB=BA=CD$ olduğu için $\triangle EDC$ ikizkenar üçgendir.
$\angle BAD = \alpha$ dersek $\angle ABD = 30^\circ - \alpha$, $\angle ECD = \angle DEA = 2\angle ABD = 60^\circ - 2\alpha$.
$\angle ABC + \angle ACB = 30^\circ - \alpha + 60^\circ - 2\alpha = 60^\circ \Longrightarrow a_1 = \alpha = 10^\circ$.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 6.3) \equiv (k_2=1, b=20^\circ , a_1 = 10^\circ) \Longrightarrow a_2 = 110^\circ $

Çözüm:

$BC$ üzerinde $AB=AE$ olacak şekilde $E$ noktası alalım. $\angle ABC = \angle AED = 20^\circ$, $\angle ADE = 30^\circ$ ve $AE=CD$ olduğu için problem $(k_2=1, N = 5.1) \equiv (k_2 = 1, b=20^\circ , c = 30^\circ) \Longrightarrow a_1 = 20^\circ$ problemine döner. Buradan $\angle CAE = 20^\circ$ ve $\angle DAC = 110^\circ$ olur.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 6.4) \equiv (k_2=1, b=20^\circ , a_2 = 110^\circ) \Longrightarrow a_1 = 10^\circ \text { veya } a_1 = 20^\circ$

Çözüm: (Trigonometrik)

$\dfrac {AB}{AD} = \dfrac {\sin d}{\sin b}$, $\dfrac {AD}{DC} = \dfrac {\sin c}{\sin a_2}$, dolayısıyla $\dfrac {AB}{DC} = \dfrac {\sin d \cdot \sin c }{\sin b \cdot \sin a_2} = 1 \Longrightarrow \sin d \cdot \sin c = \sin b \cdot \sin a_2$ eşitliği bu soru tipinin karakteristik denklemi.

$\angle BAD = \alpha$ olsun.
$d = \alpha + 20^\circ$, $c = 50^\circ - \alpha$, $b=20^\circ$, $a_2 = 110^\circ$ eşitliklerini yerine yazarsak $$\sin (\alpha + 20^\circ) \sin (50^\circ - \alpha) = \sin 20^\circ \sin 110^\circ = \sin 20^\circ = \sin 70^\circ = \sin 20^\circ \cos 20^\circ = \dfrac {\sin 40^\circ}2$$
$\sin 40^\circ = 2\sin (\alpha + 20^\circ) \sin (50^\circ - \alpha) = \cos (2\alpha - 30^\circ) - \cos 70^\circ$

$\cos(2\alpha - 30^\circ) = \sin 40^\circ + \cos 70^\circ = \sin 40^\circ + \sin 20^\circ = 2\sin 30^\circ \cos 10^\circ = \cos 10^\circ$

$2\alpha - 30^\circ = 10$ den $\alpha = 20^\circ$
ya da
$2\alpha - 30^\circ = -10^\circ$ den $\alpha = 10^\circ$ elde edilir.

Not:
Bu problem $(k_2 = 1, N=5.4)$ ile özdeştir.

Bu problem şöyle de sorulabilir:
$ABC$ üçgeninde $\angle ABC = \angle ACB = 20^\circ$ ve $[BC]$ kenarı üzerinde $AB=AC=DE$ ve $\angle DAE = 110^\circ$ olacak şekilde $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $|\angle BAD - \angle CAE| = 10^\circ$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 6.6) \equiv (k_2=1, c=40^\circ , a_2 = 110^\circ) \Longrightarrow a_1 = 10^\circ $

Çözüm:
$DC$ uzantısı üzerinde $AC=CE$ olacak şekilde $E$ noktası alalım. $\triangle ADE$ nin çevrel merkezi $O$ olsun.
$OA=OE$ ve $AC=CE$ olduğu için $\angle AOC = \angle EOC = 30^\circ$.
$\angle DOA = 2\angle AEC = \angle ACD = 40^\circ$, $\angle DCO = \angle DOC = 70^\circ$ olduğu için $AB=DC=DO = OE=OA=AE$. Bu durumda $\angle ABD = 20^\circ$ ve $a_1 = \angle BAD = 10^\circ$ olur.