(k₂=1, N=13) Kesen Problemi

[geo]

Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine konusunda anlatılan $(k_2 = 1, N=13)$ problemine ait çözümleri doğrudan ya da dolaylı olarak (ilgili konuya link vererek) bu başlık altında toplayacağız.
Öncelikle, soruyu hatırlatmak gerekirse;

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AB:DC=1$ olacak şekilde $D$ noktası alınıyor. $\angle ABC = b = 132^\circ$, $\angle ACB = c = 18^\circ$, $\angle BAC = a = 30^\circ$, $\angle ADC = d = 150^\circ$, $\angle BAD = a_1 =18^\circ $, $\angle CAD = a_2 = 12^\circ$ açıları verilen şartı sağlamakta. Bunlardan herhangi ikisi verildiğinde diğerlerinin bulunmasının sorulduğu sorular aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{l|l|l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_2 = 1 & 13.0 & (b = 132^\circ, c = 18^\circ, d = 150^\circ)  & k_2 = 1 \\
& 13.1 & (k_2 = 1, b=132^\circ, c = 18^\circ)  & a_1 = 18^\circ \\
& 13.2 & (k_2 = 1, a=30^\circ, d = 150^\circ)  & a_1 = 18^\circ \\
& 13.3 & (k_2 = 1, b=132^\circ, a_1 = 18^\circ)  & a_2 = 12^\circ  \\
& 13.4 & (k_2 = 1, b=132^\circ, a_2 = 12^\circ )  & a_1 = 18^\circ \\
& 13.5^* & (k_2 = 1, c=18^\circ, a_1 = 18^\circ)  & a_2 = 12^\circ \text { veya } a_2 = 132^\circ \\
& 13.6^* & (k_2 = 1, c=18^\circ, a_2 = 12^\circ)  & a_1 = 18^\circ \text{ veya } a_1 = 102^\circ \\
& 13.7 & (k_2 = 1, a_1=18^\circ , a_2 = 12^\circ)  & b = 132^\circ \\

\end{array}
$$

İlgili soruların çözümleri:

13.0
13.1
13.2
13.3
13.4 (Trigonometrik)
13.5
13.6
13.7

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 13.0) \equiv (b=132^\circ , c = 18^\circ, d = 150^\circ) \Longrightarrow k_2 = 1 $

Çözüm:

$ABD$ üçgeninin çevrel merkezi $O$ olsun. $\angle AOB = 2\angle ADB = 60^\circ$, $\angle BOD = 2\angle BAD = 36^\circ$, dolayısıyla $AB=OA=OB=OD$ ve $\angle ODB = \angle OBD= 72^\circ$.
$OABC$ dörtgeninde $AB=AO$ ve $AC$ köşegeni açıortay olduğu için bu dörtgen deltoiddir. Dolayısıyla $\angle BOC= \angle OBC = 72^\circ$ ve $\angle OCD = 36^\circ$.
Bu durumda $CD = OD = AB$ dir.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 13.5) \equiv (c=18^\circ , a_1 = 18^\circ) \Longrightarrow a_2 = 12^\circ \text{ veya } a_2 = 132^\circ$

Çözüm:

$\angle BAD = \angle ACB = 18^\circ$ olduğu için $AB^2 = BD \cdot BC$.

$BD$ ye ait orta dikme ile $D$ merkezli $|DC|$ yarıçaplı çemberin $BC$ ye göre $A$ ile aynı tarafta olan kesişim noktası $O$ olsun.
$OB=OD=DC=AB$ olduğu için $OB^2 = BD\cdot BC$, dolayısıyla $\angle BOD = \angle OCD = \angle DOC$ ve $\angle OBD = \angle ODB= 2\angle OCD = 2\angle BOD$. $\triangle BOD$ de iç açılar toplamını yazarsak $5\angle BOD = 180^\circ \Longrightarrow \angle BOD = 36^\circ$ elde edilir.
$\angle BOD = 2\angle BAD = 36^\circ$ ve $OB=OD$ olduğu için $O$ noktası $\triangle ABD$ nin çevrel merkezidir. Bu durumda $OA=OB=AB$, yani $\angle AOB = 60^\circ$ olur.
$\angle ADB$ geniş açıysa $2\angle ADB + \angle AOB = 360^\circ \Longrightarrow \angle ADB = 150^\circ$, dar açıysa $2\angle ADB = \angle AOB \Longrightarrow \angle ADB = 30^\circ$ olur.
İlk durum için $a_2 = \angle CAD = \angle ADB - \angle ACB = 150^\circ - 18^\circ = 132^\circ$, ikinci durum için $a_2 = 30^\circ - 18^\circ = 12^\circ$ elde edilir.

Not: $a_2 = 132^\circ$ çözümünde elde edilen üçgen $(k_2 = 1, N=3)$ probleminin üçgenidir. Dolayısıyla $(k_2 = 1, N=3.5) \equiv (k_2 = 1, N=13.5)$ tir.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 13.2) \equiv (a=30^\circ , d = 150^\circ) \Longrightarrow a_1 = 18^\circ $

Çözüm:

$\angle ACB = \alpha$ diyelim. $\angle DAB = 30^\circ - \alpha$ ve $\angle BAD = 30^\circ - (30^\circ - \alpha) = \alpha$ olacaktır.

$ABD$ üçgeninin çevrel merkezi $O$ olsun. $\angle AOB= 2\angle ADB = 60^\circ$, $AB = OA = OB = OD = DC$ olacaktır.
$\angle BAC = \angle CAO = 30^\circ$ olduğu için $ABCO$ bir deltoiddir. Dolayısıyla $\angle OCA = \angle ACB = \alpha$ dır.
 
$\angle BAD = \angle BCA = \alpha$ olduğu için $AB^2 = BD \cdot BC$.
$OB^2 = AB^2 = BD \cdot BC$ olduğu için $\angle BOD = \angle OCB = 2\alpha$ dır.
$\angle OBD = \angle ODB = 2\angle OCD = 4\alpha$ olduğu için $\triangle OBD$ de iç açıların toplamından $10\alpha = 180^\circ \Rightarrow a_1 = \alpha = 18^\circ$ elde edilir.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 13.6) \equiv (c=18^\circ , a_2 = 12^\circ) \Longrightarrow a_1 = 18^\circ \text{ veya } a_1 = 102^\circ$

Çözüm:

$[AC]$ üzerinde $\angle ADF = 18^\circ$ olacak şekilde $F$ noktası alalım. $DF$ nin uzantısı üzerinde $AD=AE$ olacak şekilde $E$ noktası alalım.
$\angle AED = \angle ADE = \angle ACD = 18^\circ$ olduğu için $ADCE$ bir kirişler dörtgenidir. O halde $\angle ECA = \angle ADE = 18^\circ$ ve $\angle DEC = \angle DAC = 12^\circ$ dir.
$\triangle AFE$ nin çevrel merkezi $G$ olsun. $\angle AGE = 2\angle AFE = 60^\circ$ ve $AD=AE=EG=AG = GF$ dir.
$\angle AEC = \angle AED + \angle DEC = 18^\circ + 12^\circ = 30^\circ$ olduğu için $EC \perp AG$ olup $AEGC$ bir deltoiddir. O halde $\angle ACE = \angle ECG = 18^\circ$ olur.
$\angle AGF = 2\angle AEF = 36^\circ$, $\angle GAF = \angle GFA = 72^\circ$, dolayısıyla $\angle FGC = \angle FCG = 36^\circ$ olacağı için $FC = FG = AD$ dir.
$\triangle ABD$ ile $\triangle CDF$ ni inceleyelim. $AD=CF$, $AB=CD$, $\angle ADB = \angle DFC = 30^\circ$ olduğu için Sinüs Teoreminden dolayı $\sin \angle ABD = \sin \angle FDC = \sin 132^\circ$ olduğu için $b = \angle ABD = 48^\circ$ ya da $b = \angle ABD = 132^\circ$ olacaktır.
Her iki durumda da sorudaki şartlar sağlanır. O halde $a_1 = 102^\circ$ ya da $a_1 = 18^\circ$ dir.

Not: $a_2 = 132^\circ$ olan durumda, $b = 48^\circ$ olduğu için bu durumdaki üçgen $(k_2 = 1, N=12)$ probleminin üçgeni ile özdeştir. Bu durumda $(k_2=1, N=13.6) \equiv (k_2=1, N=12.6)$ dır.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 13.3) \equiv (b=132^\circ , a_1 = 128^\circ) \Longrightarrow a_2 = 12^\circ$

Çözüm:

$\angle ADB = 30^\circ$.
$\triangle ABD$ nin çevrel merkezi $O$ olsun. $\angle AOB = 2\angle ADB = 60^\circ$, $\angle BOD = 2\angle BAD = 36^\circ$ ve $CD = AB= AO = OB = OD$.
$\triangle ODC$ ikizkenar üçgeninde $\angle OCD = \angle DOC = \dfrac {\angle ODB}2 = 36^\circ $.
$\angle BOD = \angle BCO = 36^\circ$ olduğu için $BD \cdot BC = BO^2 = AB^2$ dir. O halde $\angle BCA = \angle BAD = 18^\circ$ ve $a_2 = \angle DAC = 12^\circ$ dir.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 13.1) \equiv (b=132^\circ , c = 18^\circ) \Longrightarrow a_1 = 18^\circ$

Çözüm:

$[AC]$ üzerinde $AB=BE$ olacak şekilde $E$ noktası alalım.
$BE=DC$, $\angle EBC = 12^\circ$ ve $\angle ECB = 18^\circ$ ile $(k_2 = 1, N=3.1)$ problemini elde etmiş olduk.

Şimdi de $[BC$ üzerinde $EB=EF$ olacak şekilde $F$ noktası alalım.
$EF=DC$, $\angle EFD = 12^\circ$ ve $\angle FEC = 6^\circ$ ile $(k_2 = 1, N = 4.3)$ problemini elde etmiş olduk. Bu problemin çözümünü buradan takip edebilirsiniz.
Oradaki çözümden $\angle EDC = 30^\circ$ gelir.

$\angle EAB = \angle EDC = 30^\circ$ olduğu için $ABDE$ bir kirişler dörtgenidir. $\angle DAE = \angle EBD = 12^\circ$ ve $a_1 = \angle BAD = 30^\circ - 12^\circ = 18^\circ$ dir.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 13.4) \equiv (b=132^\circ , a_2 = 12^\circ) \Longrightarrow a_1 = 18^\circ$

Çözüm: (Trigonometrik)

$\dfrac {AB}{AD} = \dfrac {\sin d}{\sin b}$, $\dfrac {AD}{DC} = \dfrac {\sin c}{\sin a_2}$, dolayısıyla $\dfrac {AB}{DC} = \dfrac {\sin d \cdot \sin c }{\sin b \cdot \sin a_2} = 1 \Longrightarrow \sin d \cdot \sin c = \sin b \cdot \sin a_2$ eşitliği bu soru tipinin karakteristik denklemi.

$\angle ACB = \alpha$ dersek, denklem $\sin (\alpha + 12^\circ) \sin \alpha = \sin 132^\circ \cdot \sin 12^\circ = \sin 48^\circ \cdot \sin 12^\circ$ denklemine dönüşür.

$2 \sin (\alpha + 12^\circ) \sin \alpha = \cos 12^\circ - \cos (2\alpha + 12^\circ)$ ile $2 \sin 48^\circ \sin 12^\circ = \cos 36^\circ - \cos 60^\circ = \cos 72^\circ$ eşitliklerini birleştirirsek $$\cos (2\alpha + 12^\circ)  =  \cos 12^\circ - \cos 72^\circ = 2 \sin 42^\circ \sin 30^\circ = \sin 42^\circ = \cos 48^\circ \Longrightarrow \alpha = 18^\circ$$ elde edilir. Bu durumda $a_1 = \angle BAD = 18^\circ$ elde edilir.