2008 Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Kış Kampı Sınavı Soru 5

[geo]

$$
x^3-a x^2+\left(a^2-1\right) x-a^2-a=0
$$ denkleminin aritmetik dizi oluşturan $3$ tane kökü olmasını sağlayan tüm reel $a$ sayılarını bulun.

[Metin Can Aydemir]

Denklemin kökleri $x_1\leq x_2\leq x_3$ olsun. $x_1+x_3=2x_1$ olacağından Vieta formüllerinden, $$x_1+x_2+x_3=3x_2=a\implies x_2=\frac{a}{3}$$ bulunur. Bu bir kök olduğundan, yerine yazdığımızda denklemi sağlamalıdır. $$\frac{a^3}{27}-a\cdot\frac{a^2}{9}+(a^2-1)\cdot \frac{a}{3}-a^2-a=0$$ $$\implies 7a^3-27a^2-36a=a(7a^2-27a-36)=0$$ elde edilir. Yani $a=0$, $a=\frac{27\pm 3\sqrt{193}}{14}$ elde edilir. Bunlar için köklerin aritmetik dizi olup olmadığını test etmemize gerek yoktur çünkü bu değerler için $x=\frac{a}{3}$ bir kök olacak ve $x_1+x_3=2x_2$ otomatik olarak sağlanacaktır. Dolayısıyla denklemin aritmetik kökü olmasını sağlayan tüm $a$ değerleri $\boxed{a=0,\frac{27+3\sqrt{193}}{14},\frac{27-3\sqrt{193}}{14}}$ olacaktır.