$\angle ACD = \angle APE = \angle AFE$ dir. Bu durumda $BCEF$ bir kirişler dörtgenidir.
$\angle ABC = \angle AEF = \angle FPA$ dir. Bu durumda $BFPD$ de bir kirişler dörtgenidir.
Benzerlikleri yazarsak, ($\triangle AFP \sim \triangle ADB$ ve $\triangle AEP \sim \triangle ADC$), $$\dfrac{AF}{AD} = \dfrac{FP}{DB} \quad \text{ve} \quad \dfrac {AE}{AD} = \dfrac {PE}{CD} \tag{1}$$ elde ederiz. Eşitlikleri taraf tarafa oranlarsak $$\dfrac {AF}{AE} = \dfrac {FP}{PE} \tag{2}$$ olur. Açıortay teoreminden $\dfrac{FP}{PE} = \dfrac {FQ}{QE}$ olduğu için $\dfrac{AF}{AE} = \dfrac {FQ}{QE}$, dolayısıyla $AQ$ da $\angle FAE$ nin açıortayıdır.
$\triangle AQP$ nin çevrel çemberine $A$ da teğet olan doğru $BC$ yi $H$ de kessin. $AH$ nin $\triangle ABC$ nin yüksekliği olduğunu göstermemiz isteniyor.
Teğet-Kiriş açıdan $\angle PAQ = \angle QAH$ dir.
$\angle ABC = \angle FPA = \beta$ ve $\angle ACB = \angle APE = \theta$ dersek, $\angle FPA = |\theta - \beta|$ olacaktır.
$\angle FAQ = \angle QAE = \dfrac {180^\circ - 2\beta - 2\theta}2 = 90 - \beta - \theta$.
$\angle C > \angle B$ ise $\angle HAE = \angle QAE - \angle QAH = 90^\circ - \beta - \theta - (\theta - \beta) = 90^\circ - 2\theta = 90^\circ - \angle ACB$, dolayısıyla $AH \perp BC$ olur.
$\angle B > \angle C$ ise $\angle HAE = \angle QAE + \angle QAH = 90^\circ - \beta - \theta + (\beta - \theta) = 90^\circ - 2\theta = 90^\circ - \angle ACB$, dolayısıyla $AH \perp BC$ olur.
Not: Teknik terimlerle biraz kafa karıştıralım:
$AD$, $\triangle ABC$ de bir kenarortay olduğu için $\triangle AEF$ de bir kenarortaysıdır. Kenarortaysının çevrel çemberi kestiği nokta (burada $P$ oluyor) için $\dfrac {AF}{AE} = \dfrac {FP}{PE}$ eşitliğini göstermiş olduk. $(PAQ)$ çevrel çemberinin $A$ noktasındaki teğetinin $(AFE)$ çevrel çemberinin merkezinden geçtiğini göstermiş oldu. $\triangle AFE$ de, merkezden geçen doğru, $\triangle ACB$ de yükseklik olacaktır. (İzogonal Eşlenikler).
